Desigualtat de Màrkov

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva.^[1] El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

${\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}.}$

Prova

Per a qualsevol succés A, sigui I_A la variable aleatòria indicadora d'A, és a dir, I_A = 1 si ocorre A i és 0 en el cas contrari. Llavors

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X.\,}$

Per tant

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,}$

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,}$

Per tant tenim

${\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,}$

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a.

Prova alternativa

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

${\displaystyle \Pr(|X|\geq a)=\int _{a}^{\infty }{f(x)dx}\leq \int _{a}^{\infty }{{\frac {|x|}{a}}f(x)dx}\leq {\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x|f(x)dx}={\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}}$

A la introducció de ${\displaystyle {\frac {|x|}{a}}}$, noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle |X|\geq a}$ i, per tant, ${\displaystyle {\frac {|X|}{a}}\geq 1}$, de manera que en multiplicar ${\displaystyle f(x)dx}$ per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}{|x|f(x)dx}}$, que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per: ${\displaystyle f(x)}$ que és positiva).

• La desigualtat de Màrkov s'utilitza per provar la desigualtat de Chebyshev.

Referències