Funció de Prandtl-Meyer

Variació de la funció de Prandtl–Meyer ( ν {\displaystyle \nu } ) amb el nombre de Mach ( M {\displaystyle M} ) per diferents valors de la capacitat calorífica específica ( γ {\displaystyle \gamma } ). Les línies de ratlles mostren el valor límit ν max {\displaystyle \nu _{\text{max}}} a mesura que el nombre de Mach tendeix a infinit.

En dinàmica de fluids, la funció de Prandtl-Meyer descriu l'angle a través del qual un fluid pot modificar la seva direcció de manera isentròpicament donats els valors inicials i finals de nombre de Mach. És l'angle màxim a través del qual un flux sònic (Ma = 1) pot girar en una cantonada convexa. Per un gas ideal, s'expressa comː

ν ( M ) = ∫ M 2 − 1 1 + γ − 1 2 M 2 d M M = γ + 1 γ − 1 ⋅ arctan ⁡ γ − 1 γ + 1 ( M 2 − 1 ) − arctan ⁡ M 2 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\\\end{aligned}}}

on ν {\displaystyle \nu \,} és la funció de Prandtl-Meyer, M {\displaystyle M} és el nombre de Mach del flux i γ {\displaystyle \gamma } és la raó de les capacitats calorífiques.

Per conveni, la constant d'integració és tal que ν ( 1 ) = 0. {\displaystyle \nu (1)=0.\,} .

Com que el nombre de Mach va de 1 fins a ∞ {\displaystyle \infty } , ν {\displaystyle \nu \,} pren valors del 0 fins ν max {\displaystyle \nu _{\text{max}}\,} , onː

ν max = π 2 ( γ + 1 γ − 1 − 1 ) {\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}}
Per expansions isentròpiques: ν ( M 2 ) = ν ( M 1 ) + θ {\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,}
Per compressions isentròpiques: ν ( M 2 ) = ν ( M 1 ) − θ {\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,}

on θ {\displaystyle \theta } és el valor absolut de l'angle a través del qual el flux gira, M {\displaystyle M} és el nombre de Mach del flux i els subíndexs "1" i "2" denoten les condicions inicials i finals respectivament.

Referències

  • Liepmann, Hans W.; Roshko, A. Elements of Gasdynamics. Dover Publications, 2001. ISBN 0-486-41963-0.