Funció trigamma

No s'ha de confondre amb Funció gamma triple.
Representació en color de la funció trigamma, ψ1(z) en una regió rectangular del pla complex.

En matemàtiques, la funció trigamma, denotada ψ1(z), és la segona de les funcions poligamma, i està definida per

ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} .

D'aquesta definició es desprèn que

ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

on ψ(z) és la funció digamma. També es pot definir com la suma de la sèrie

ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

convertint-lo en un cas especial de la funció zeta de Hurwitz.

ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) . {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}

Tingueu en compte que les dues últimes fórmules són vàlides quan 1 − z no és un nombre natural.

Representació

Una representació, en forma d'integral doble, com una alternativa a una de les donades anteriorment, es pot derivar de la representació en forma de sèrie:

ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 x x z − 1 y ( 1 − x ) d x d y {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dx\,dy}

utilitzant la fórmula per a la suma d'una sèrie geomètrica. Integrant per parts s'obté:

ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln ⁡ x 1 − x d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Una expansió asimptòtica com una sèrie de Laurent és

ψ 1 ( z ) = 1 z + 1 2 z 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k z 2 k + 1 = ∑ k = 0 ∞ B k z k + 1 {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}

(si, per exemple, es tria B1 = 1/2, obtenim nombres de Bernoulli).

Fórmules de recurrència i reflexió

La funció trigamma satisfà la relació de recurrència

ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

i la fórmula de reflexió

ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 sin 2 ⁡ π z {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}

que immediatament dona el valor de z = 1/2: ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}} .

Valors especials

La funció trigamma té els següents valors especials:

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 ψ 1 ( 3 2 ) = π 2 2 − 4 ψ 1 ( 2 ) = π 2 6 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}

on G representa la constant de Catalan.

No hi ha arrels a l'eix real de ψ1, però existeixen infinitat de parells d'arrels zn, zn per a Re z < 0. Cada parell d'arrels s'acosta ràpidament a Re zn = −n + 1/2 i la seva part imaginària augmenta logarítmicament lent amb n. Per exemple, z1 = −0.4121345... + 0.5978119...i i z₂ = −1.4455692... + 0.6992608...i són les dues primeres arrels amb Im(z) > 0.

Relació amb la funció de Clausen

La funció digamma amb arguments racionals es pot expressar en termes de funcions trigonomètriques i logaritmes pel teorema de la digamma. Un resultat similar es manté per a la funció trigamma, però les funcions circulars se substitueixen per la funció de Clausen. És a dir,[1]

ψ 1 ( p q ) = π 2 2 sin 2 ⁡ ( π p / q ) + 2 q ∑ m = 1 ( q − 1 ) / 2 sin ⁡ ( 2 π m p q ) Cl 2 ( 2 π m q ) . {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}

Càlcul aproximat

Un mètode fàcil per obtenir un valor aproximat de la funció trigamma és prendre la derivada de l'expansió en sèrie de la funció digamma.

ψ 1 ( x ) ≈ 1 x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 − 1 30 x 5 + 1 42 x 7 − 1 30 x 9 + 5 66 x 11 − 691 2730 x 13 + 7 6 x 15 {\displaystyle \psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}}

Aparició

La funció trigamma apareix en aquesta fórmula de suma sorprenent:[2]

∑ n = 1 ∞ n 2 − 1 2 ( n 2 + 1 2 ) 2 ( ψ 1 ( n − i 2 ) + ψ 1 ( n + i 2 ) ) = − 1 + 2 4 π coth ⁡ π 2 − 3 π 2 4 sinh 2 ⁡ π 2 + π 4 12 sinh 4 ⁡ π 2 ( 5 + cosh ⁡ π 2 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}

Referències

  1. ↑ L, Lewin. Structural properties of polylogarithms (en anglès). American Mathematical Society, 1991. ISBN 978-0821816349. 
  2. ↑ Mező, István «Some infinite sums arising from the Weierstrass Product Theorem» (en anglès). Applied Mathematics and Computation, 219(18), 2013, pàg. 9838–9846. DOI: 10.1016/j.amc.2013.03.122.

Bibliografia

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. «§6.4 Gamma function and related functions (6.4. Polygamma Functions)». A: Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Nova York: Dover Publications, 1964, p. 260. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Weisstein, Eric W. «Trigamma Function» (en anglès). MathWorld (A Wolfram Web Resource).

Vegeu també