Greenova věta

Greenova věta^[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

Je-li ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=[F_{x}(x,y),F_{y}(x,y)]}$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše ${\displaystyle S}$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou ${\displaystyle C}$, pak platí:

${\displaystyle \oint _{C}(F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y)=\iint _{S}({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y}$.

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce ${\displaystyle F_{x}}$ a ${\displaystyle F_{y}}$ tak,
že platí ${\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=1}$, potom je obsah (míra) oblasti ${\displaystyle D}$ ohraničené hranicí ${\displaystyle C}$ dán vztahem:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy)=\iint _{S}\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y}$, neboť (viz volba výše):

${\displaystyle \partial F_{y}\,\partial y-\partial F_{x}\,\partial x\ =\ \partial x\ \partial y\ =\ {\tfrac {1}{2}}\,\partial x\ \partial y+{\tfrac {1}{2}}\,\partial y\ \partial x}$, tj.:

${\displaystyle \partial F_{y}={\tfrac {1}{2}}\partial x\ }$ a ${\displaystyle \ \partial F_{x}=-{\tfrac {1}{2}}\partial y}$, z čehož plyne: ${\displaystyle F_{y}={\tfrac {1}{2}}x\ }$ a ${\displaystyle \ F_{x}=-{\tfrac {1}{2}}y}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Greenova věta na Wikimedia Commons