Radikál ideálu

Radikál ideálu je pojem z abstraktní algebry, přesněji z teorie okruhů. Pro ideál ${\displaystyle I}$ komutativního okruhu ${\displaystyle R}$ se radikálem ideálu ${\displaystyle I}$ rozumí množina všech prvků okruhu ${\displaystyle R}$, jejichž konečná mocnina padne do ${\displaystyle I}$. Značí se ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ nebo ${\displaystyle \operatorname {Rad} (I)}$. S tímto značením je možno definici vyjádřit následovně:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} :r^{n}\in I\}.}$

Ve speciálním případě, kdy je ideál roven svému radikálu, tedy ${\displaystyle {\sqrt {I}}=I}$, je tento ideál nazýván radikálový ideál. Dalším zvláštním případem je radikál nulového ideálu, který je nazýván nilradikál a značen ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}}$.

Vlastnosti

• Radikál ideálu je ideál.
• Platí ${\displaystyle \operatorname {Rad} \left(\operatorname {Rad} (I)\right)=\operatorname {Rad} (I)}$, jinými slovy operace určení radikálu je idempotentní a radikál ideálu je vždy radikálovým ideálem.
• Radikál ideálu ${\displaystyle I}$ je roven průniku všech prvoideálů obsahujících ${\displaystyle I}$.