Rozdělení gama

Grafy hustot gama rozdělení s různými charakteristikami.
Grafy distribučních funkcí rozdělení gama s různými charakteristikami.

Rozdělení gama je v teorii pravděpodobnosti a statistiky dvouparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Speciálními případy distribuce gama jsou exponenciální rozdělení, Erlangovo rozdělení a rozdělení chí-kvadrát. Běžně se používají tři různé parametrizace distribuce gama:

  1. S parametrem tvaru k a parametrem měřítka θ.
  2. S parametrem tvaru α = k a inverzním parametrem měřítka β = 1/θ.
  3. S tvarovým parametrem k a střední hodnotou μ = kθ = α/β.

V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.

Distribuci gama lze parametrizovat například pomocí tvarového parametru α = k a inverzního parametru škály β = 1 / θ. Mějme náhodnou proměnnou X, která má rozdělení gama s parametry α a β:

X ∼ Γ ( α , β ) ≡ Gama ⁡ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gama} (\alpha ,\beta )} .

Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v této parametrizaci je

f ( x ; α , β ) = β α x α − 1 e − β x Γ ( α )  pro  x > 0 α , β > 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ pro }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}

kde Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (\alpha )} je funkce gama . Pro všechna kladná celá čísla Γ ( α ) = ( α − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!} .

Kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama:

F ( x ; α , β ) = ∫ 0 x f ( u ; α , β ) d u = γ ( α , β x ) Γ ( α ) , {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}

kde γ ( α , β x ) {\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)} je nižší neúplná funkce gama.

Pokud α je kladné celé číslo (tj. distribuce je Erlangovo rozdělení), má tato distribuční funkce následující rozvoj do řady:[1]

F ( x ; α , β ) = 1 − ∑ i = 0 α − 1 ( β x ) i i ! e − β x = e − β x ∑ i = α ∞ ( β x ) i i ! . {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}.}
f ( x ; k , θ ) = x k − 1 e − x θ θ k Γ ( k )  pro  x > 0  a  k , θ > 0. {\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ pro }}x>0{\text{ a }}k,\theta >0.}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Gamma distribution na anglické Wikipedii.

  1. ↑ Papoulis, Pillai, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Fourth Edition

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu rozdělení gama na Wikimedia Commons
Autoritní data Editovat na Wikidatech
  • GND: 4155928-9