Σ-Subadditivität

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind - sie wird σ-subadditive Funktion genannt.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem M {\displaystyle {\mathcal {M}}} auf der Grundmenge X {\displaystyle X} , also M ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)} . Eine Abbildung

f : M → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f\colon {\mathcal {M}}\to \left[0,\infty \right]}

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots } aus M {\displaystyle {\mathcal {M}}} und jedes A ∈ M {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} mit A ⊂ ⋃ i = 1 ∞ A i {\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} gilt, dass

f ( A ) ≤ ∑ i = 1 ∞ f ( A i ) {\displaystyle f(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})}

ist.[1] Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist, ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ M {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}}} zu fordern.

Beispiele

Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

  • Sand
  • Wasser
  • Wasser-Sand-Gemisch

    • Alltagsbeispiel für Sigma-Subadditivität: wird Sand mit Wasser zusammen gemischt, so ist das Schüttvolumen des Gemisches kleiner als die Summe der einzelnen Volumen, da sich das Wasser in die Zwischenräume zwischen den Sandkörnern einlagern kann. Beim Mischen von Ethanol mit Wasser beruht der Wirkmechanismus (anders als im Bild) auf der Wechselwirkung der Teilchen, siehe Volumenkontraktion.

    Siehe auch

    • Submodulare Funktion

    Literatur

    • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
    • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

    Einzelnachweise

    1. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).