Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung ${\displaystyle \Delta }$ der komplexifizierten Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (p,q)}$ und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei ${\displaystyle n=p+q}$.

Die komplexifizierte Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (p,q)}$ ist

• isomorph zur Matrizenalgebra ${\displaystyle Mat_{2^{k}}(\mathbb {C} )}$, falls ${\displaystyle n=2k}$ gerade ist, oder
• isomorph zur Matrizenalgebra ${\displaystyle Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )\oplus Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )}$, falls ${\displaystyle n=2k-1}$ ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische ${\displaystyle 2^{k}}$-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen ${\displaystyle (p,q)}$ mit ${\displaystyle n=p+q}$ existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen ${\displaystyle n=2k}$ ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension ${\displaystyle 2^{k-1}}$ werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass ${\displaystyle \Delta _{2k}=\Delta _{2k}^{+}\oplus \Delta _{2k}^{-}}$. Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen ${\displaystyle \Delta _{2k}^{+},\Delta _{2k}^{-}}$ und auch für ungerade Dimensionen ${\displaystyle n=2k+1}$ mit dem Raum ${\displaystyle \Delta _{2k+1}}$ sind irreduzibel.^[1]

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (3,1)}$, dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch). 
• Pierre Ramond: Field Theory. A Modern Primer. Addison-Wesley, 1990, ISBN 978-0-201-54611-8 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie (= Advanced lectures in mathematics). Vieweg, Braunschweig Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-06926-1, S. 22 ff.