Faddeeva-Funktion

Die Faddeeva-Funktion (auch Kramp-Funktion oder relativistische Plasma-Dispersions-Funktion) ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion,

${\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}$

Sie ist verwandt mit den Fresnel-Integralen, den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil. Die Funktion ist nach Wera Nikolajewna Faddejewa benannt.

Für genauere Betrachtungen lässt sich ${\displaystyle w\left(z\right)}$ mit ${\displaystyle z=x+iy}$ wie folgt zerlegen:

${\displaystyle w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)}$,

${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle L}$ stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei ${\displaystyle V(x,y)}$ bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.^[1]

Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung

${\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t\qquad \Im \left(z\right)>0}$

sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle.^[1]
Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen: ^[1]

${\displaystyle V\left(x,y\right)={\frac {y}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle L\left(x,y\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(x-t\right)\ \cdot \ e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Bei einer Vorzeichenumkehr von ${\displaystyle z}$ kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:

${\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

sowie

${\displaystyle w(-z)={\overline {w\left({\overline {z}}\right)}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}}$ ist die Konjugation von ${\displaystyle z}$.^[2]

In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:^[1][3]

${\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}$

Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion ${\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}$ und ${\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}$ nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt ${\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}$ eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments ${\displaystyle z=x+iy}$, kann die Ableitung auch die in ihre partiellen Ableitungen nach ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zerlegt werden:

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}$

Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion ${\displaystyle D_{+}(x)}$

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x).}$^[4]

Für rein imaginäre Argumente ${\displaystyle iy}$ entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion ${\displaystyle erfcx}$

${\displaystyle w(iy)=\mathrm {erfcx} (y)=e^{y^{2}}\mathrm {erfc} (y)}$,

mit der Komplementären Fehlerfunktion ${\displaystyle erfc}$.

Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert.^[5] Sie erscheint als namenlose Funktion ${\displaystyle w(z)}$ im Standardwerk von Abramowitz-Stegun (1964), Formel 7.1.3. Der Name Faddeeva function wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.^[6]

Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht.^[7] Sie liegt der Funktion scipy.special.wofz in der Python-Bibliothek SciPy zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek libcerf verfügbar.^[8]
Für Matlab existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.^[9]

• W. Gautschi ACM Transactions on Mathematical Software (1969?): ACM Algorithmus 363.
• W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970).
• G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680.
• J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab.
• M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916.
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011).
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Arxiv, Preprint 2012

1. ↑ ^{a b c d} V. G. Avetisov: A Least-Squares Fitting Technique for Spectral Analysis of Direct and Frequency-Modulation Lineshapes. In: Fakultät für Physik der Universität Lund (Hrsg.): Lund Reports in Atomic Physics. LRAP-186, 1995 (lu.se [PDF]). 
2. ↑ W. Gautschi: Efficient Computation of the Complex Error Function. In: Society for Industrial and Applied Mathematics (Hrsg.): SIAM Journal on Numerical Analysis. Band 7, Nr. 1, 1970, S. 187–198 (nasa.gov [PDF]). 
3. ↑ National Institute of Standards and Technology (NIST): 7 Error functions, Dawson's and Fresnel integrals - 7.10 Derivatives, 15. März 2023, abgerufen am 14. Mai 2023
4. ↑ J. H. McCabe: A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 127, 1974, S. 811–816. 
5. ↑ V. N. Faddeeva, N. N. Terent'ev: Tables of values of the function ${\displaystyle w(z)=\exp(-z^{2})(1+2i/{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{z}\exp(t^{2}){\text{d}}t)}$ for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961.
6. ↑ Google-Scholar-Recherche laut engl. Wikipedia.
7. ↑ Faddeeva Package, unter MIT-Lizenz.
8. ↑ Archivierte Kopie (Memento vom 17. Februar 2013 im Webarchiv archive.today)
9. ↑ Sanjar Abrarov: The Voigt/complex error function (second version), MATLAB Central File Exchange, 10. Juli 2016, abgerufen am 14. Mai 2023