Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.
Definition
Die beiden Integrale
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15954e316bafbe5b7143150c536540e3609653e)
heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.
Geschichte
Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{(a^{2}-1)t^{2}}\cos(2at^{2})\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{1+a^{2}}},\qquad -1\leq a\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fac81d9892831b6d1afc56823a3ea31010008b)
und
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{(a^{2}-1)t^{2}}\sin(2at^{2})\,\mathrm {d} t={\frac {a\,{\sqrt {\pi }}}{1+a^{2}}},\qquad -1\leq a\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa06e9bf610d1875ee0563c4a1c12ed3cc94a17)
Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik
Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{(j)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\xi ^{j}\mathrm {d} \xi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503ce2b02b13e828e269cb6a1e6b440670be4f72)
Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante
ist
,
ist eine ganze natürliche Zahl. Für
ist das Integral
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\mathcal {F}}^{(0)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\mathrm {d} \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf9f794c669a6ad5d6ec13efab776abe6d998fe)
und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.
Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch
und ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\sin(\alpha \xi ^{2})\,\mathrm {d} \xi ={\sqrt {\frac {\pi }{2\left|\alpha \right|}}}\cdot \operatorname {sign} (\alpha )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fba503d18c57b8f02e19f12b04172b283eeef50)
Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von
, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit
und
und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\mathcal {F}}^{(0)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\mathrm {d} \xi ={\sqrt {\frac {\alpha }{i\pi }}}\cdot {\sqrt {\frac {i\pi }{\alpha }}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8469407bf57d27e249222a77f0d38b59844f8be)
Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.
Literatur
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-59075-7, S. 178 f.
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 47.
Weblinks
Commons: Fresnel integrals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien