Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als
mit
schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]={\mathrm {i} }\,f^{abc}\,T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178fbbadbd583006914477dd81c459b232f1ba49)
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die
werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
![{\displaystyle f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}={\frac {1}{2}},~f^{156}=f^{367}=-{\frac {1}{2}},~f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e45e66a37b1f56bf85b50ed23423eb782b7c43)
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
![{\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566786f40d6886ba3df99a1699e088f612c708b9)
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
| | |
| | |
| | |
Die ersten drei
erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.
Die
-Matrizen haben folgende Eigenschaften:
- Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
- Sie sind spurlos, das heißt
. - Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt
.
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.
Siehe auch
- Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
- Quarks
Literatur
- Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
- J. J. J. Kokkedee: The Quark model. OCLC 474207457