Lévy-Abstand

Der Lévy-Abstand, auch Lévy-Metrik genannt, ist in der Stochastik ein Maß für die Übereinstimmung zweier Verteilungsfunktionen. Er ist nach Paul Lévy benannt und ein Sonderfall der Prochorow-Metrik.

Definition

Bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}}$ die Menge aller Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik). Für zwei ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {V}}_{1}}$ definiert man

${\displaystyle d_{L}(F,G)=\inf\{\epsilon >0:F(x-\epsilon )-\epsilon \leq G(x)\leq F(x+\epsilon )+\epsilon {\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \}}$.

Eigenschaften

• ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{1},d_{L})}$ ist ein separabler, vollständiger metrischer Raum.
• Die Folge von Verteilungsfunktionen ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert genau dann schwach gegen eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$, wenn ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d_{L}(F_{n},F)=0}$ ist. Somit metrisiert die Lévy-Metrik die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen.

Weblinks

• V.M. Zolotarev: Lévy metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.