Peanosche Fläche

In der Mathematik ist die peanosche Fläche der Graph der Funktion

${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})\ .}$

Sie wurde 1899 von Giuseppe Peano als Gegenbeispiel zu einer Vermutung für die Existenz eines lokalen Maximums/Minimums einer Funktion von zwei Variablen angegeben.^[2][3][4]

Diese Fläche wurde 1920 von Georg Scheffers in seinem Lehrbuch der darstellenden Geometrie^[5] als Fläche von Peano bezeichnet. Sie wird auch Peano-Sattel genannt.^[6][7]

Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$ mit Ebenen durch die ${\displaystyle z}$-Achse an der Stelle ${\displaystyle (0,0)}$ alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle (0,0)}$ ein lokales Maximum.

Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion ${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ gilt:

1. Jede Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene durch die ${\displaystyle z}$-Achse besitzt im Punkt ${\displaystyle (0,0,0)}$ ein lokales Maximum.
2. In jeder Umgebung von ${\displaystyle (0,0)}$ besitzt ${\displaystyle f}$ sowohl positive als auch negative Werte.

Die Funktion ${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ besitzt folgende Eigenschaften:

1. ${\displaystyle f(x,y)=0\;}$ auf den Parabeln ${\displaystyle y=2x^{2}}$ und ${\displaystyle y=x^{2}}$.
2. ${\displaystyle f(x,y)>0\;}$ zwischen diesen Parabeln, also für ${\displaystyle x^{2}<y<2x^{2}}$ (im Bild rosa) und
3. ${\displaystyle f(x,y)<0\;}$ sonst (im Bild hellblau).
4. Schränkt man ${\displaystyle f}$ durch ${\displaystyle ax+by=0}$ mit ${\displaystyle a^{2}+b^{2}>0}$ ein, so prüft man leicht nach, dass jede solche Einschränkung von ${\displaystyle f}$ im Nullpunkt ${\displaystyle (0,0,0)}$ ein lokales Maximum besitzt.
5. Die Funktionswerte entlang der Parabel ${\displaystyle y={\sqrt {2}}x^{2}}$ (im Bild rot) sind außerhalb des Nullpunktes positiv (!). ${\displaystyle f}$ hat also im Nullpunkt einen Sattelpunkt. (Für diese Überlegung kann man eine beliebige zwischen den Parabeln verlaufende Kurve verwenden.)

Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der Hessematrix liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.^[8]

• Uni Dresden
• Universitätssammlungen

1. ↑ Peanosche Fläche. In: math.tu-dresden.de. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 9. Juli 2020; abgerufen am 2. August 2020. 
2. ↑ Arnold Emch: A model for the Peano Surface. In: American Mathematical Monthly. 29, Nr. 10, 1922, S. 388–391.
3. ↑ Angelo Genocchi, Giuseppe Peano (Hrsg.): Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung. B.G. Teubner, 1899, S. 332.
4. ↑ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, S. 197.
5. ↑ Georg Scheffers: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Band II, 1920, S. 261–263.
6. ↑ S. N. Krivoshapko, V. N. Ivanov: Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer, 2015. Siehe insbesondere den Abschnitt Peano Saddle, S. 562–563.
7. ↑ George K. Francis: A Topological Picturebook. Springer-Verlag, New York 1987, ISBN 0-387-96426-6, S. 88.
8. ↑ Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 403.