Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum $L^{2}$ der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche $L^{2}$ -Norm haben.

Aussage

Es existiert eine Isometrie $\Psi \colon L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ , die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

\Psi (f)={\mathcal {F}}(f)

für alle $f\in {\mathcal {S}}$ , wobei

${\mathcal {F}}$ die Fourier-Transformation und
${\mathcal {S}}$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

Die Gleichheit $\Psi (f)={\mathcal {F}}(f)$ gilt nicht nur für $f\in {\mathcal {S}}$ , sondern auch für $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ , da ${\mathcal {S}}$ sowohl in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ als auch in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ dicht liegt. Da $\Psi$ auf $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ und die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ auf $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ definiert ist, kann man $\Psi$ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. "Frames") zugrunde liegt.