Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.
Es sei
eine offene Menge und
ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion
auf
genau dann integrierbar, wenn die Funktion
auf
integrierbar ist. In diesem Fall gilt:
![{\displaystyle \int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f7fb79c27b60dd222347f25afad0e2958691fc)
Dabei ist
die Jacobi-Matrix und
die Funktionaldeterminante von
.
Spezialfälle
- Wählt man für
die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw.
-dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge
dar: ![{\displaystyle \operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\int _{\Omega }\left|\det(D\Phi (x))\right|\,\mathrm {d} x\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5df4c3f5fa69abe6fb1ca7e010e108239398904)
- Ist außerdem die Abbildung
linear oder affin,
, wobei
eine
-Matrix ist und
, so ist
. Somit gilt ![{\displaystyle \operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {vol} (\Omega )\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8539869043470ee554b08a3c029f8a861cccc5b2)
Beispiel
Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke
![{\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67d50321b952a535a742389d1740d400d681cb)
gleich 1 ist, genügt es, die Aussage
![{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a88e2c976b3412c3485a00546fad5fcc5937885)
zu beweisen. Da die Funktion
rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:
Es sei
und
![{\displaystyle \Phi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{2},\quad (r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f4cfcfbc7f2c378ac1c8805c33b549dd46830d)
Dann ist die Funktionaldeterminante
![{\displaystyle \det D\Phi (r,\varphi )={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee4f1424034f3bd7bdea7e56e51fc0a0370f40d)
Das Komplement von
ist eine Nullmenge, mit
ergibt sich also
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4271cff6486dbdf002f57d36c7e3312a1b82228d)
![{\displaystyle {}=\int _{\Phi (\Omega )}\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1011b2c934a683fa3e619e37eccf1da75a16e67)
![{\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-(r\cos \varphi )^{2}-(r\sin \varphi )^{2}}\cdot \det D\Phi (r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a2883ead736e50313873d566714752c30543c4)
![{\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-r^{2}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84f8b82c385e4a185419f387d3c2cb6bd7dacd1)
![{\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c476c9eecfdad0d80c962cb51e428da601ab21a7)
![{\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \varphi =\pi .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f38d493227cddb8448cc5f2b834e974da022b0)
Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution
begründet werden.
Literatur
- Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
- Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211