Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica (planteada por el matemático rumano Dorin Andrica) es una proposición sobre las diferencias entre números primos consecutivos.^[1]​

La conjetura establece que la desigualdad

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

se cumple para todo ${\displaystyle n}$, donde ${\displaystyle p_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo número primo.

Si ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Evidencia empírica

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de ${\displaystyle n}$ menores a 1.3002 x 10¹⁶.^[2]​

El comportamiento de la función discreta ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de ${\displaystyle A_{n}}$ se producen para n = 1, 2, y 4, con

${\displaystyle A_{4}\approx }$ 0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10⁵ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que ${\displaystyle n}$ crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de ${\displaystyle A_{n}}$ cuando ${\displaystyle n}$ se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

donde ${\displaystyle p_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible ${\displaystyle x}$ se tiene para ${\displaystyle n=1}$, cuanto x_máx=1. Para la solución más pequeña posible ${\displaystyle x}$ se ha conjeturado que es x_mín ${\displaystyle \approx }$ 0.567148 ... , que se produce cuando ${\displaystyle n=30}$.

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ para ${\displaystyle x<x_{\min }.}$

Véase también

• Conjetura de Cramér

Notas y referencias

Enlaces externos

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath