Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas, un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunos utilizan el término circular en lugar de equilibrado), en cuyo caso se llama disco. La envoltura de disco o enovoltura absolutamente convexa de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un espacio vectorial (real o complejo) ${\displaystyle X}$ se denomina disco y se dice que es absolutamente convexo y equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle S}$ es convexo y equilibrado.
2. para cualesquiera escalares ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b,}$ si ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ entonces ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. para todos los escalares ${\displaystyle a,b,}$ y ${\displaystyle c,}$ si ${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ entonces ${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. para cualquier escalar ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ si ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq 1}$ entonces ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$
5. para cualquier escalar ${\displaystyle c,a_{1},\ldots ,a_{n}}$ si ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq |c|}$ entonces ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$

El menor subconjunto convexo (resp. equilibrado) de ${\displaystyle X}$ que contiene a un conjunto se denomina envoltura convexa de dicho conjunto y se denota por ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ (resp. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$).

Del mismo modo, se define que una envolutra de disco, o envolutra absolutamente convexa, de un conjunto ${\displaystyle S}$ es el disco más pequeño (con respecto al inclusión de conjuntos) que contiene a ${\displaystyle S.}$^[1]​ La envoltura de disco de ${\displaystyle S}$ se denotará por ${\displaystyle \operatorname {disco} S}$ o ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ que es la envoltura convexa del envoltura equilibrada de ${\displaystyle S}$; así, ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

1. • En general, ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita.

2. la intersección de todos los discos que contienen ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}s_{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in S,\,\sum _{i=1}^{n}\left|s_{i}\right|\leq 1\right\}}$, donde los ${\displaystyle s_{i}}$ son elementos del cuerpo subyacente.

Condiciones suficientes

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es de nuevo absolutamente convexa; sin embargo, la unión de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos no necesitan ser ya absolutamente convexos.

Si ${\displaystyle D}$ es un disco en ${\displaystyle X,}$ entonces ${\displaystyle D}$ es absorbente en ${\displaystyle X}$ si y sólo si ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}${sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}

Propiedades

Si ${\displaystyle S}$ es un disco absorbente en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ entonces existe un disco absorbente ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle E+E\subseteq S.}$ ^[2]​.

Si ${\displaystyle D}$ es un disco y ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle s}$ son escalares entonces ${\displaystyle sD=|s|D}$ y ${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\|r|,|s|\})D.}$

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo es de nuevo acotada.

Si ${\displaystyle D}$ es un disco acotado en un EVT ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ es una sucesión en ${\displaystyle D,}$ entonces las sumas parciales ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{infty}}$ son sucesiones de Cauchy, donde para todo ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$^[3]​. En particular, si además ${\displaystyle D}$ es un subconjunto secuencialmente completo de ${\displaystyle X,}$ entonces esta serie ${\displaystyle s_{\bullet }}$ converge en ${\displaystyle X}$ a algún punto de ${\displaystyle D.}$

La envoltura convexa y equilibrada de ${\displaystyle S}$ contiene tanto a la envoltura convexa de ${\displaystyle S}$ como a la envoltura equilibrada de ${\displaystyle S}$ Además, contiene la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de ${\displaystyle S;}$ así

donde el ejemplo siguiente muestra que esta inclusión puede ser estricta.

Sin embargo, para cualesquiera subconjuntos ${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ si ${\displaystyle S\subseteq T}$ entonces ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$, lo que implica que ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} \operatorname {bal} S).}$

Ejemplos

Aunque ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ la envoltura convexo equilibrado de ${\displaystyle S}$ es ‘’no’’ necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de ${\displaystyle S.}${sfn|Trèves|2006|p=68}.

Para un ejemplo en el que ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ sea ${\displaystyle X}$ el espacio vectorial real ${\displaystyle R^{2}}$ y sea ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$. Entonces ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ es un subconjunto estricto de ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que la envoltura equilibrado de un conjunto convexo es ‘’no’’ necesariamente convexo.

El conjunto ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ es igual al cuadrado cerrado y lleno en ${\displaystyle X}$ con vértices ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ y ${\displaystyle (1,-1)}$ (esto es porque el conjunto equilibrado ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ debe contener tanto a ${\displaystyle S}$ como a ${\displaystyle S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ donde ya que ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ también es convexo, debe contener en consecuencia el cuadrado sólido ${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$ que para este ejemplo particular resulta ser también equilibrado de modo que ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$). Sin embargo, ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ es igual al segmento de recta cerrada horizontal entre los dos puntos de ${\displaystyle S}$ de modo que ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ es, en cambio, un subconjunto cerrado con forma de "reloj de arena" que corta el eje ${\displaystyle x}$ exactamente en el origen y es la unión de dos triángulo isósceles cerrados y llenos: uno cuyos vértices son el origen junto con ${\displaystyle S}$ y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$ Este "reloj de arena" relleno no convexo ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ es un subconjunto propio del cuadrado relleno ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

Véase también

• Conjunto absorbente
• Espacio normado auxiliar
• Conjunto equilibrado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Conjunto convexo
• Dominio estrellado

Referencias

Bibliografía

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. pp. 4-6.