Constante de Prohuet-Thue-Morse

En matemáticas, la constante de Prouhet–Thue–Morse, nombrada así por Eugène Prouhet, Axel Thue, y Marston Morse, es el número—denotado por ${\displaystyle \tau }$—cuya expansión binaria .01101001100101101001011001101001... está dada por la Sucesión de Thue–Morse. Esto es,

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots }$

donde ${\displaystyle t_{i}}$ es el i^ésimo elemento de la secuencia de Prouhet–Thue–Morse.

La serie generadora para ${\displaystyle t_{i}}$ está dada por

${\displaystyle \tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}}$

y puede ser expresada como

${\displaystyle \tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

Este es el producto de polinomiales aditivos (o de Frobenius), y como tal se generaliza a campos o cuerpos arbitrarios.

Kurt Mahler demostró que la constante de Prouhet–Thue–Morse es un número trascendente.^[1]​

Notas

Referencias

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015. .
• Pytheas Fogg, N. (2002). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics (en inglés) 1794. Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015. 

Enlaces externos

• "Sloane's A010060 : Sucesión de Thue-Morse", en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence (La ubicua sucesión de Prouhet-Thue-Morse), de John-Paull Allouche y Jeffrey Shallit, (sin fecha, 2004 o anterior) proveen aplicaciones e historia de la secuencia
• Entrada en PlanetMath Archivado el 16 de julio de 2012 en Wayback Machine. (en inglés)