Ecuación de compatibilidad

Una ecuación de compatibilidad es una ecuación adicional a un problema mecánico de equilibrio necesaria para asegurar que la solución buscada es compatible con las condiciones de contorno o para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones.

Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones

En el planteamiento del problema elástico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en términos de las componentes del tensor deformación.

Elasticidad lineal

En elasticidad lineal una deformación será físicamente posible si es compatible con un determinado campo de desplazamientos ${\displaystyle \mathbf {u} }$ es decir si se cumplen las siguientes relaciones para las componentes del tensor deformación:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {\begin{cases}\varepsilon _{xx}=\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)&\varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)\\\varepsilon _{yy}=\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&\varepsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\\varepsilon _{zz}=\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)&\varepsilon _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)\end{cases}}}$

Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que necesitamos una relación expresable sólo en términos de las componentes del tensor deformación. La expresión buscada es precisamente:^[1]​

(1)${\displaystyle \forall i,j:\quad {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{kj}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}}$

Estas últimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de compatibilidad de la elasticidad lineal.

Elasticidad no lineal

En teoría de la elasticidad no lineal la relación entre el vector de desplazamientos y las componentes del tensor tensión son no lineales y substancialmente más complicadas:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+\sum _{k}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\right]}$

Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal también son no lineales:

(2)${\displaystyle \forall i,j\quad {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{r}\Gamma _{jlr}\Gamma _{ikr}={\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{kj}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}+\sum _{r}\Gamma _{jkr}\Gamma _{ilr}}$

Donde los símbolos de Christoffel vienen dados por:

${\displaystyle \Gamma _{abc}={\frac {\partial \varepsilon _{ac}}{\partial x_{b}}}+{\frac {\partial \varepsilon _{cb}}{\partial x_{a}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{ab}}{\partial x_{c}}}}$

La ecuación (2) se puede reinterpretar en términos de geometría diferencial, si consideramos que el sólido se deforma sobre un espacio euclídeo una vez deformado las coordenadas materiales dejarán de ser cartesianas y la medición de distancias requerirá el uso de un tensor métrico de la forma:

${\displaystyle g_{ij}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}-\varepsilon _{ij})}$

Y en ese caso la condición (2) no expresa más que el tensor de Riemann del espacio euclídeo expresado en esta métrica debe ser nulo ${\displaystyle \scriptstyle R_{ijkl}=0}$

Ecuaciones de compatibilidad en desplazamientos

Con frecuencia, en problemas mecánicos o de resistencia de materiales hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado.

De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. Así si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en función del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estaría formado por la ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estáticamente indeterminado o hiperestático el análisis de fuerzas lleva a una única ecuación para las dos reacciones incógnita existentes:

${\displaystyle R_{A}+R_{B}=P\,}$

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la parte izquierda (entre R_A y P) está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y R_B) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el acortamiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, esa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

${\displaystyle {\begin{cases}R_{A}+R_{B}=P&{\mbox{equilibrio}}\\{\cfrac {R_{A}L_{1}}{EA}}-{\cfrac {R_{B}L_{2}}{EA}}=0&{\mbox{compatibilidad}}\end{cases}}\qquad \Rightarrow {\begin{cases}R_{A}={\cfrac {L_{2}}{L_{1}+L_{2}}}P\\R_{B}={\cfrac {L_{1}}{L_{1}+L_{2}}}P\end{cases}}}$

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando el teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente.

Bibliografía

• Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed. Theory of elasticity.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
• Ortiz Berrocal, Luis (1998). McGraw-Hill, ed. Elasticidad. Aravaca (Madrid). pp. 94-96. ISBN 84-481-2046-9. 
• Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C. (2000). «3». En Edicions UPC, ed. Mecánica de Medios Continuos para Ingenieros. Barcelona. pp. 71-75. ISBN 978-84-8301-412-7.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)