Función sobreyectiva

En matemáticas, una función:

${\displaystyle {\begin{aligned}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}}}$

es sobreyectiva,^[1]​ epiyectiva, suprayectiva,^[1]​ suryectiva, exhaustiva,^[1]​ onto o subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de ${\displaystyle Y}$ es la imagen de como mínimo un elemento de ${\displaystyle \scriptstyle X}$.

Formalmente,

${\displaystyle \forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y}$

Para todo y de Y existe x de X, que cumple que la función: f de x es igual a y.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio. Equivalentemente, una función ${\displaystyle f}$ con dominio ${\displaystyle X}$ y codominio ${\displaystyle Y}$ es sobreyectiva si para cada ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle Y}$ existe al menos una ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y}$.

Simbólicamente

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ entonces se dice que ${\displaystyle f}$ es sobreyectiva si

${\displaystyle \forall \;y\in Y,\exists \;x\in X:f(x)=y}$

Notación

En ocasiones para denotar que una función ${\displaystyle f:X\to Y}$ es sobreyectiva se utiliza la notación:

${\displaystyle f:X\twoheadrightarrow Y}$

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, entre los cuales existe una función sobreyectiva ${\displaystyle f:A\to B}$, se tiene que los cardinales cumplen:

${\displaystyle {\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)}$

Si además existe otra aplicación sobreyectiva ${\displaystyle g:B\to A}$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Véase también

• Función inyectiva
• Función biyectiva

Referencias

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (2004) [1968]. Theory of Sets. Springer. ISBN 978-3-540-22525-6.