Progresio geometriko

Matematikan, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,}$ zenbaki segida batek segida geometriko edo progresio geometriko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien zatiketa, ${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$ alegia, konstante bat denean. ${\displaystyle r\,}$ konstanteari arrazoi deritzo. Segida geometriko bateko ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,}$ erako batuketa bati serie geometriko deritzo. Serie aritmetiko-geometrikoak ere badaude, segida geometriko bateko gaien batuketaz kalkulatzen direnak. Serie geometrikoen batura kalkulatzeko integrala ere erabil daiteke, termino orokorra integratuz n parametroari buruz.

Adibidez, honako hau 2 arrazoi duen segida geometrikoa da : 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... Aldi berean, 3+6+12+24+48+96 batuketa serie geometrikoa da.

Segida geometriko baten n-garren gaia formula honi jarraiki kalkulatzen da:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\times r^{n-1}\,}$

Serie geometriko baten batura honako formula honen bitartez kalkulatzen da, ${\displaystyle a\,}$ lehenengo batugaia, ${\displaystyle r\,}$ arrazoia eta ${\displaystyle n\,}$ batugai-kopurua izanik:

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}}$

Adibidez:

${\displaystyle S_{g}(6;3,2)=3+6+12+24+48+96=3\times {\frac {1-2^{6}}{1-2}}=192}$

Serie geometriko baten arrazoia baturatik ere kalkula daiteke, batura zati batu egiten den gai kopuua eginez:

${\displaystyle r={\frac {S_{g}(n;a,r)}{n}}}$

Historia

Mesopotamiako Garai Dinastiko Goiztiarran egindako buztinezko taulatxo batean, MS 3047, 3 oinarria duen eta 1/2 biderkatzailea duen progresio geometriko bat agertzen da. Uste da Shuruppak hiriko sumertar taula bat zela. Babiloniako matematikako progresio geometrikoaren adibide ezagun bakarra da^[1].

Euklidesen Elementuen VIII eta IX liburuek progresio geometrikoen analisia egiten dute, adibidez biko potentziak, eta hainbat propietate ematen dituzte^[2].

Serie geometrikoaren formularen frogapena

${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ segida geometriko baterako bi batuketa hauek definitzen dira:

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,}$

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)r=a_{1}r+a_{2}r+\cdots +a_{n}r=a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}r\,}$

Bi batuketa horien kenketa egiten bada:

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)-S_{g}(n;a,r)r=a_{1}-a_{n}r\,}$

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)(1-r)=a_{1}-a_{1}r^{n-1}r=a_{1}-a_{1}r^{n}=a_{1}(1-r^{n})\,}$

${\displaystyle S_{g}(n;a,r)=a_{1}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\,}$

Erreferentziak

Ikus, gainera

• Progresio aritmetiko

Kanpo estekak

• Progresio geometrikoak, Gizapedian.
• 3. DBH. PROGRESIO GEOMETRIKOAK: ARRAZOIA ETA GAI OROKORRA bideoa youtuben.

• Datuak: Q173523