Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on ${\displaystyle 1+2+3+4+\dots }$, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on ${\displaystyle 2{,}0+1{,}5+1{,}0+0{,}5+\dots }$, jossa vakioerotus on −0,5).

Sarja ${\displaystyle 0+0+0+\dots }$ on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo ${\displaystyle \pm \infty }$, eli sarjat hajaantuvat.

• n:s termi: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d\qquad {\mbox{(1)}}\,\!}$, missä d = peräkkäisten termien erotus

• Ensimmäisten n termin summa: ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$ ${\displaystyle ={\frac {n(2a_{1}+(n-1)d)}{2}}}$

Todistus 1: Geometrisesti S_n on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on a_n ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan ${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$.

Todistus 2: Kirjoitetaan S_n kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):

${\displaystyle S_{n}=(a_{1})+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)\qquad {\mbox{(2)}}}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+(a_{n})\qquad {\mbox{(3)}}}$

Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:

${\displaystyle 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow \ S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$.

□

Aritmeettisen sarjan summalle ${\displaystyle S_{n}}$ kaikilla ${\displaystyle n}$:n arvoilla pätee:^[1]

${\displaystyle S_{3n}=3(S_{2n}-S_{n})}$

• Geometrinen sarja

Viitteet

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

• Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina