De Brangesin lause

Funktioteoriassa de Brangesin lause kertoo välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti kompleksitasoon. Lause on nimetty ranskalais-amerikkalaisen Louis de Brangesin mukaan, mutta se tunnettiin aikaisemmin Bieberbachin otaksumana saksalaisen Ludwig Bieberbachin mukaan. Otaksuman esitti Bieberbach jo vuonna 1916, mutta sen todisti de Branges vuonna 1984. Myöhemmin de Brangesin alkuperäistä todistusta on pystytty lyhentämään.^[1]

De Brangesin lause koskee yksikkökiekossa sileän eli injektiivisen analyyttisen funktion ${\displaystyle f}$ Taylorin sarjan kertoimia. Kun ${\displaystyle f}$ normitetaan niin, että ${\displaystyle f(0)=0}$ ja ${\displaystyle f'(0)=1}$, niin ${\displaystyle f}$:llä on yksikkökiekossa potenssisarjaesitys, joka on muotoa

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

De Brangesin lauseen mukaan kaikilla ${\displaystyle n\geq 2}$ on

${\displaystyle \left|a_{n}\right|\leq n.\,}$

Lisäksi kertoimien maksimit saavutetaan. On nimittäin ${\displaystyle |a_{n}|=n}$ silloin ja vain silloin, kun

${\displaystyle f(z)={z \over (1-\lambda z)^{2}},}$

missä ${\displaystyle |\lambda |=1}$.

Väitteen todisti oikeaksi tapauksessa ${\displaystyle n=2}$ Ludwig Bieberbach vuonna 1916. Vuoteen 1973 mennessä väite oli onnistuttu todistamaan oikeaksi, kun ${\displaystyle n\leq 8}$.