Massadistribuutio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Massadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.

Olkoon ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ mitta-avaruus varustettuna topologialla ja ${\displaystyle F\subset X}$. Nyt mitta ${\displaystyle \mu }$ on massadistribuutio joukossa F, jos

1. Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli ${\displaystyle 0<\mu (X)<\infty ,}$
2. Mitan ${\displaystyle \mu }$ kantaja sisältyy joukkoon F, eli ${\displaystyle \operatorname {spt} \,\mu \subset F.}$

Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.

• Olkoon ${\displaystyle L=\{(x,0):x\in [0,1]\}}$ väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus ${\displaystyle \mu :\operatorname {Leb} \,\mathbb {R} ^{2}\rightarrow [0,+\infty ]}$ kaavalla

${\displaystyle \mu (A)=m_{1}(A\cap L),}$

missä ${\displaystyle m_{1}}$ on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko ${\displaystyle A\cap L}$ tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että ${\displaystyle \mu }$ on mitta. Lisäksi koska ${\displaystyle \mu (\mathbb {R} ^{2})=m_{1}([0,1])=1}$ ja kantaja ${\displaystyle \operatorname {spt} \,\mu =L}$, niin ${\displaystyle \mu }$ on massadistribuutio joukossa ${\displaystyle L}$.

Avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.

Määritellään, että jos ${\displaystyle s>0}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle \mu }$ massadistribuutio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:ssä, niin massadistribuution ${\displaystyle \mu }$ s-potentiaali pisteessä ${\displaystyle x}$ on luku

${\displaystyle \phi _{s}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {d\mu (y)}{||x-y||^{s}}},}$

missä integraali on massadistribuution ${\displaystyle \mu }$ määräämä mittaintegraali. Tapauksessa ${\displaystyle n=3}$ ja ${\displaystyle s=1}$ tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.

Vastaavasti massadistribuution ${\displaystyle \mu }$ s-energia on luku

${\displaystyle I_{s}(\mu )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{s}(x)d\mu (x),}$

eli toisin sanoen

${\displaystyle I_{s}(\mu )=\iint \limits _{\mathbb {R} ^{n}\,\mathbb {R} ^{n}}{\frac {d\mu (x)d\mu (y)}{||x-y||^{s}}}.}$

Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ja on olemassa massadistribuutio ${\displaystyle \mu }$ joukossa F siten, että ${\displaystyle I_{s}(\mu )<\infty }$, niin Hausdorffin mitta ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty }$ ja dimensio ${\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathcal {H}}\,F\geq s.}$