Materiaaliderivaatta

Materiaaliderivaatta on virtausmekaniikassa tapa esittää paikasta ja ajasta riippuvan virtauksen mukana kulkevan suureen (esimerkiksi paine tai liikemäärä) muutosta ajan suhteen. Materiaaliderivaatta antaa työkalun yhdistää kyseisen suureen muutosnopeuden havainnot sekä virtauksen ulkopuolisen (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto) että virtauksen mukana kulkevan (nk. Lagrangen havaintokoordinaatisto) tarkkailijan näkökulmista.^[1]

Jos virtauksen nopeus on ajasta ja paikasta riippuva vektorikenttä ${\textstyle \mathbf {v} (x,y,z,t)}$ ja ${\textstyle Q(x,y,z,t)}$ on jokin virtauksen mukana kulkeva suure, niin ${\textstyle Q}$:n materiaaliderivaatta on

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}$

Materiaaliderivaattaa merkitään joskus myös ${\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}$ korostamaan sitä, että siinä on useita eri derivaattatermejä ja että se seuraa tiettyä virtauksen materiaalipistettä.^[2]

Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z,t)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z,t)\,\mathbf {k} }$. Olkoon lisäksi ${\textstyle Q(x,y,z,t)}$ paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan ${\textstyle Q}$ ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$

Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat ${\textstyle v_{x}=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t}$, ${\textstyle v_{y}=\mathrm {d} y/\mathrm {d} t}$ ja ${\textstyle v_{z}=\mathrm {d} z/\mathrm {d} t}$. Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial Q}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial Q}{\partial z}}}$

Lisäksi

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \cdot \nabla &=(v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} )\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\\&=v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$

Näin ollen voidaan kirjoittaa

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)Q={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}$

Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=(4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} }$. Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.

Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}}$

Lasketaan ensin derivaatat erikseen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}&={\frac {\partial }{\partial t}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} \\v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}&=(4t+1){\frac {\partial }{\partial x}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=(4t+1)\cdot 2z\,\mathbf {j} =(8tz+2z)\,\mathbf {j} \\v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}&=2xz{\frac {\partial }{\partial y}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=2xz\cdot (-2ty\,\mathbf {k} )=-4txyz\,\mathbf {k} \\v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}&=-ty^{2}{\frac {\partial }{\partial z}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=-ty^{2}\cdot 2x\,\mathbf {j} =-2txy^{2}\,\mathbf {j} \\\end{aligned}}}$

Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (x,y,z,t)&=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} +(8tz+2z)\,\mathbf {j} -4txyz\,\mathbf {k} -2txy^{2}\,\mathbf {j} \\&=4\,\mathbf {i} +(8tz+2z-2txy^{2})\,\mathbf {j} +(y^{2}-2txy^{2})\,\mathbf {k} \end{aligned}}}$

• Advektio
• Navierin−Stokesin yhtälöt