Anneau opposé

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En algèbre, l'anneau opposé[1] A0 ou Aop d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note ⋅ A {\displaystyle \cdot _{A}} et ⋅ A o p {\displaystyle \cdot _{A^{\rm {op}}}} les multiplications respectives de A et Aop, on a

a ⋅ A o p b = b ⋅ A a {\displaystyle a\cdot _{A^{\rm {op}}}b=b\cdot _{A}a} .

La notion d'anneau opposé permet d'unifier l'étude des modules à gauche et des modules à droite, car les modules à droite sur un anneau sont exactement les modules à gauche sur l'anneau opposé[2].

Propriétés

A et Aop ont même zéro et (le cas échéant) même unité. L'égalité A = Aop a lieu si et seulement si A est commutatif. En particulier, si A est un corps, Aop aussi.

Si A est un corps gauche (également appelé anneau à division) qui n'est pas commutatif, l'anneau opposé de A est lui aussi un corps gauche non commutatif. Dans ce cas, on parle parfois du « corps opposé de A » plutôt que de « l'anneau opposé de A »[3].

Toute K-algèbre A est isomorphe à l'opposée de la K-algèbre des endomorphismes du A-module A :

A ≃ ( E n d A ( A ) ) o p {\displaystyle A\simeq \left({\rm {End}}_{A}(A)\right)^{\rm {op}}} .
Démonstration

Pour tout a ∈ A {\displaystyle a\in A} , soit r a ∈ E n d A ( A ) {\displaystyle r_{a}\in {\rm {End}}_{A}(A)} défini par : r a ( x ) = x ⋅ A a {\displaystyle r_{a}(x)=x\cdot _{A}a} . L'application r a {\displaystyle r_{a}} est une bijection de A {\displaystyle A} dans E n d A ( A ) {\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)} , de bijection réciproque f ↦ f ( 1 ) {\displaystyle f\mapsto f(1)} . En effet, pour tout f ∈ E n d A ( A ) {\displaystyle f\in {\rm {End}}_{A}(A)} , r f ( 1 ) ( x ) = x ⋅ A f ( 1 ) = f ( x ) {\displaystyle r_{f(1)}(x)=x\cdot _{A}f(1)=f(x)} . C'est un isomorphisme de A o p {\displaystyle A^{\rm {op}}} dans E n d A ( A ) {\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)} , le point essentiel étant que ( r a ∘ r b ) ( x ) = x ⋅ A b ⋅ A a = x ⋅ A ( a ⋅ A o p b ) = r a ⋅ A o p b ( x ) {\displaystyle (r_{a}\circ r_{b})(x)=x\cdot _{A}b\cdot _{A}a=x\cdot _{A}\left(a\cdot _{A^{\rm {op}}}b\right)=r_{a\cdot _{A^{\rm {op}}}b}(x)} . Par conséquent, A = ( A o p ) o p ≃ ( E n d A ( A ) ) o p {\displaystyle A=(A^{\rm {op}})^{\rm {op}}\simeq \left({\rm {End}}_{A}(A)\right)^{\rm {op}}} .

Voir aussi

Notes et références

  1. ↑ Expression conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, , I.96, déf. V, qui emploie la notation A0.
  2. ↑ Bourbaki 1970, p. II, 2.
  3. ↑ Voir par exemple Bourbaki 1970, p. II.159, prop. 10.
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