Conséquence tautologique

En logique propositionnelle, une conséquence tautologique est la forme stricte de la conséquence logique^[1], dans laquelle la tautologie d'une proposition est conservée des prémisses à la conclusion. Les conséquences logiques ne sont pas toutes des conséquences tautologiques. Une proposition ${\displaystyle Q}$ est dite être une conséquence tautologique d'une, ou plus, autre propositions (${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ..., ${\displaystyle P_{n}}$) dans une preuve par apport à un système logique si celui-ci est valide à introduire la proposition au-dessus de la ligne de preuve dans le cadre des règles du système et, dans tous les cas où chacune de ces propositions (${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ..., ${\displaystyle P_{n}}$) sont vraies, la proposition ${\displaystyle Q}$ est aussi vraie.

Une autre manière de représenter la préservation de la tautologie est d'utiliser une tables de vérités. Une proposition ${\displaystyle Q}$ est dite être une conséquence tautologique d'une, ou plus, autre propositions (${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ..., ${\displaystyle P_{n}}$) si et seulement si dans chaque colonne de table de vérité la valeur de vérité « V » ou 1 est attribuée à toutes les propositions (${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ..., ${\displaystyle P_{n}}$) et aussi à ${\displaystyle Q}$.

Exemple

a = « Socrate est un homme. » b = « Tous les hommes sont mortels. » c = « Socrate est mortel. »

a

b

${\displaystyle {\therefore c}}$

La conclusion de cet argument est une conséquence logique des prémisses, car il est impossible que tous les prémisses soit vrais et que la conclusion ne le soit pas.

Lorsqu'on observe la table de vérité, il se trouve que la conclusion de l'argument n'est pas une conséquence tautologique du prémisse. Toutes les colonnes qui assignent V au prémisse n'attribuent pas forcément toutes V à la conclusion. En particulier la deuxième rangée, qui assigne V à a ∧ b, mais n'attribue pas V à c.

Dénotation et propriétés

Il résulte de la définition que si une proposition p est une contradiction, alors p implique tautologiquement toute proposition, car il n'y a pas d'évaluation de vérité qui assigne la valeur V à p et donc la définition de l'implication tautologique est trivialement satisfaite. De même, si p est une tautologie, alors p est tautologiquement impliqué par toute proposition.

Voir aussi

• Déduction logique
• Tautologie
• Table de vérité

Notes

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tautological consequence » (voir la liste des auteurs).
• Barwise, Jon, et John Etchemendy. Language, Proof and Logic. Stanford: CSLI (Center for the Study of Language and Information) Publications, 1999. 
• Kleene, S. C. (1967) Mathematical Logic, réimprimé 2002, Dover Publications, (ISBN 0-486-42533-9).

• Portail de la logique