Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.
Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés (
,
,
et
) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.
Valeurs particulières
Pour toute base
, on a :
.
.
Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation
Par définition des logarithmes, on a :
.
.
.
Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.
Logarithme d'une somme
En partant des égalités
, et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement
en fonction de
et
en évitant des dépassements des limites numériques[réf. nécessaire].
![{\displaystyle \log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}b-\log _{c}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a9fd9e60255b58c115a11e5512e2449d2f479b)
![{\displaystyle \log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}\left(1+{\frac {b}{a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0465dce207e900601666ea8e1a88669cb66a13)
.
,
.
Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.
Changement de base
Relation de type Chasles :
![{\displaystyle \log _{a}c=\log _{a}b\times \log _{b}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6e05e56df986ac44e463f3a47b23ee78af70c1)
Et en particulier (pour c = a),
.
Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).
On en déduit :
.
Limites
pour ![{\displaystyle a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b9d9fb0ff9d4455e75ccd29676bd7f33da80e)
pour ![{\displaystyle a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8d3f65a187e46328021b646ee8769425a04d72)
pour ![{\displaystyle a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b9d9fb0ff9d4455e75ccd29676bd7f33da80e)
pour ![{\displaystyle a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8d3f65a187e46328021b646ee8769425a04d72)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba195e3df473541352d62701ffdc4df98b6bd816)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df0fb9c883ff77ad1860d43583dda09f5d5b208)
La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».
![{\displaystyle \forall x>0\quad \log '_{a}(x)={\frac {1}{x\ln a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc8f33434ce73b77292f8efb3ad287f5147645d)
donc dans le cas particulier de la base e :
.
Primitive
![{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\log _{a}t\;\mathrm {d} t=\left[t\left(\log _{a}t-{\frac {1}{\ln a}}\right)\right]_{x_{0}}^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c19c50169b9ff4c876c0a64f4932f4a363a9093)
donc dans le cas particulier de la base e :
.
Crédit d'auteurs
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« List of logarithmic identities » (voir la liste des auteurs).
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