Masse irréductible

La masse irréductible est la masse minimale que peut acquérir un trou noir à la suite des interactions avec son environnement et sans tenir compte d’effets de mécanique quantique. Le terme de « masse » ci-dessus doit être compris comme la masse apparente d’un trou noir, telle qu’elle serait mesurée à grande distance de celui-ci par un observateur sensible à son champ gravitationnel. D’après les équations de la relativité générale, ce n’est pas la masse, mais l’énergie qui est responsable du champ gravitationnel. La masse irréductible correspond de ce fait à la portion de l’énergie totale du trou noir qui n’est pas de nature électromagnétique ou cinétique.

Introduction

Bien qu’un trou noir soit un objet dont rien ne peut s’échapper, il lui est possible de perdre une partie de son énergie dans les cas suivants :

quand elle est stockée sous forme d’énergie cinétique de rotation (comme dans un trou noir de Kerr, possédant un moment cinétique non nul) ;
quand elle l’est sous forme d’énergie électromagnétique (comme dans un trou noir de Reissner-Nordström, possédant une charge électrique).

Par exemple, envoyer dans un trou noir électriquement chargé des particules de charge de signe opposé peut permettre l’annulation de la charge du trou noir, dont l’énergie électromagnétique disparaît alors. Si la masse de ces particules chargées envoyées sur le trou noir est négligeable, alors l’énergie totale possédée par le trou noir peut diminuer lors du processus. Il en est de même avec un trou noir en rotation, dont on peut diminuer le moment cinétique et par suite l’énergie cinétique de rotation en lui faisant absorber des particules dont la projection du moment cinétique par rapport à son axe de rotation est de signe opposé à celle du trou noir.

Définition

Le concept de masse irréductible est intimement lié aux considérations de la thermodynamique des trous noirs. Celle-ci stipule entre autres que l’aire de l’horizon d’un trou noir ne peut que croître au cours du temps avec des processus de physique classique^[1]. La masse irréductible peut ainsi être définie par la configuration de type trou noir de masse minimale pour une surface d’horizon donnée. Le concept de masse irréductible a été proposé par Demetrios Christodoulou et Remo Ruffini au début des années 1970^[2]^,^[3].

Expression

La masse irréductible $M_{\mathrm {irr} }$ d'un trou noir est définie par la relation^[4] :

M_{\mathrm {irr} }={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {A_{\mathrm {H} }}{16\pi }}}

où :

$A_{\mathrm {H} }$ est l'aire de l'horizon des évènements du trou noir ;
$c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
$G$ est la constante gravitationnelle.

Elle est donnée par^[5]^,^[6] :

M^{2}=\left(M_{\mathrm {irr} }+{\frac {Q^{2}}{4GM_{\mathrm {irr} }}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}J^{2}}{4G^{2}M_{\mathrm {irr} }^{2}}}

où :

$M$ est la masse du trou noir ;
$J$ est son moment cinétique ;
$Q$ est sa charge électrique.

Exemples

Trou noir de Reissner-Norström

Un trou noir de Reissner-Nordström, tout comme un trou noir de Schwarzschild (sans charge électrique), est sphérique. À masse identique, le rayon de son horizon diminue quand la charge augmente : il passe de 2 M pour un trou noir de Schwarzschild à M quand sa charge est maximale (trou noir dit extrémal). Plus précisément, le rayon de l’horizon varie selon :

r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}

où M est Q sont respectivement la masse et la charge du trou noir dans le système d'unités géométriques usuel de la relativité générale^[7]. La masse irréductible M_irr d’un tel trou noir est donc

M_{\mathrm {irr} }={\frac {r_{+}}{2}}

Le rapport de la masse irréductible sur la masse donne le rendement maximal d’un processus d’extraction d’énergie d’un trou noir. Dans le cas présent, il s’écrit

r=1-{\frac {M_{i}}{M}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-{\frac {Q^{2}}{M^{2}}}}}

Ce rendement est maximal dans le cas d’un trou noir extrémal, c’est-à-dire quand Q = M, où 50 % de l’énergie du trou noir peut être extraite.

Trou noir de Kerr

Le processus permettant à un trou noir de Kerr d’atteindre sa masse irréductible a été explicité par le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose. Il porte le nom de processus de Penrose. Il permet d’extraire jusqu’à 29 % de l’énergie d’un trou noir en rotation si celui-ci est extrême.

Cette fois, la coordonnée radiale qui détermine la position de l'horizon est donnée par :

r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}

a étant le moment cinétique par unité de masse du trou noir, exprimé dans le système d'unités géométriques. Le trou noir n'étant plus à symétrie sphérique, sa surface est donnée par une formule légèrement différente :

A=4\pi (r_{+}^{2}+a^{2})

qui donne

A=8\pi Mr_{+}

La masse irréductible est donc

M_{\rm {irr}}={\sqrt {\frac {Mr_{+}}{2}}}

En l'absence de moment cinétique, r₊ vaut 2 M et masse et masse irréductibles sont identiques. Dans le cas d'un trou noir extrémal, r₊ vaut M est la masse irréductible est plus petite que la masse d'un facteur racine carrée de 2. Le rendement maximum est donc comme annoncé

r_{\rm {max}}=1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 29\%

Notes et références

↑ Des effets de nature quantique comme l’évaporation de Hawking ne sont donc pas pris en compte ici.
↑ Christodoulou 1970.
↑ Christodoulou et Ruffini 1971.
↑ Maggiore 2918, chap. 13, sec. 13.5, p. 207 (13.73).
↑ Mottola 2011, § 1, (6), p. 3.
↑ Rueda et Ruffini 2021, (1).
↑ c’est-à-dire où toutes les grandeurs physiques sont ramenées à des longueurs, ce qui formellement revient à considérer un système d’unités où la constante de Newton G et la vitesse de la lumière c valent 1. Ainsi, M correspond en fait à la quantité G M / c².

Voir aussi

Bibliographie

[Christodoulou 1970] (en) D. Christodoulou, « Reversible and irreversible transformations in black-hole physics » [« Les transformations, réversibles et irréversibles, dans la physique des trous noirs »], Physical Review Letters, vol. 25, n^o 22,‎ 30 novembre 1970, p. 5^e partie, art. n^o 5, p. 1596-1597 (OCLC 4433615188, DOI 10.1103/PhysRevLett.25.1596, Bibcode 1970PhRvL..25.1596C, résumé, lire en ligne [PDF]).
[Christodoulou et Ruffini 1971] (en) D. Christodoulou et R. Ruffini, « Reversible transformations of a charged black hole » [« Les transformations réversibles d'un trou noir chargé »], Physical Review D, vol. 4, n^o 12,‎ 15 décembre 1971, p. 1^re partie, art. n^o 3, p. 3552-3555 (OCLC 4630857574, DOI 10.1103/PhysRevD.4.3552, Bibcode 1971PhRvD...4.3552C, résumé, lire en ligne [PDF]).
[Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. II : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll. / Oxford scholarship online, mars 2018, 1^re éd., XIV-820 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, Bibcode 2018gwv..book.....M, S2CID 126386179, SUDOC 225716968, résumé, présentation en ligne, lire en ligne).
[Mottola 2011] (en) E. Mottola, « New horizons in gravity : dark energy and condensate stars », Journal of Physics: Conference Series, vol. 314,‎ 22 septembre 2011, art. n^o 012010 (OCLC 4804697727, DOI 10.1088/1742-6596/314/1/01201, Bibcode 2011JPhCS.314a2010M, arXiv 1107.5086, résumé, lire en ligne [PDF]).
[Rueda et Ruffini 2021] (en) J. A. Rueda et R. Ruffini, « The quantum emission of an alive black hole » [« L'émission quantique d'un trou noir vivant »], International Journal of Modern Physics D, vol. 30, n^o 14,‎ 15 octobre 2021, art. n^o 2141003 (DOI 10.1142/S0218271821410030, Bibcode 2021IJMPD..3041003R, arXiv 2105.07890, résumé, lire en ligne [PDF]).
(en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 p. (ISBN 0226870332), p. 326-327.