Module de cisaillement

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En résistance des matériaux, le module de cisaillement, module de glissement, module de rigidité, module de Coulomb ou second coefficient de Lamé, est une grandeur physique intrinsèque à chaque matériau et qui intervient dans la caractérisation des déformations causées par des efforts de cisaillement.

La définition du module de rigidité $G$ , parfois aussi noté μ, est

G{\overset {\text{df}}{=}}{\dfrac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F\ell }{A\Delta x}},

où (voir l'image ci-contre)

{\textstyle \tau _{xy}={\frac {F}{A}}}

est la contrainte de cisaillement,

F

la force,

A

l'aire sur laquelle la force agit,

{\textstyle \gamma _{xy}={\frac {\Delta x}{\ell }}=\tan(\theta )}

le déplacement latéral relatif et

\theta

l'écart à l'angle droit,

{\textstyle \Delta x}

le déplacement latéral et enfin

{\textstyle \ell }

l'épaisseur.

Le module de rigidité $G$ , qui a la dimension d'une contrainte ou d'une pression, est généralement exprimé en mégapascals (ou newtons par millimètre carré) ou en gigapascals (ou joules par millimètre cube). À titre d'exemple, pour l'acier, $G\simeq$ 81 000 MPa = 81 GPa.

Dans le cas de matériaux isotropes, il est relié au module d'élasticité $E$ et au coefficient de Poisson $\nu$ par l'expression :

G={\dfrac {E}{2(1+\nu )}}.

Voir aussi

Articles connexes

Module d'élasticité
Module d'inertie
Coefficient de Poisson
Analyse mécanique dynamique
Contrainte de cisaillement
Cisaillage

v · m

Modules d'élasticité pour des matériaux homogènes et isotropes

Module de Young (E)
Module de cisaillement (G)
Module d'élasticité isostatique (K)
Premier coefficient de Lamé (λ)
Coefficient de Poisson (ν)
Module d'onde de compression (M, P-wave modulus)

Formules de conversion

Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.

formules en 3D	$(\lambda ,G)$	$(E,G)$	$(K,\lambda )$	$(K,G)$	$(\lambda ,\nu )$	$(G,\nu )$	$(E,\nu )$	$(K,\nu )$	$(K,E)$	$(M,G)$
$K\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E\,[\mathrm {Pa} ]=$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda \,[\mathrm {Pa} ]=$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G$
$G\,[\mathrm {Pa} ]=$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu \,[1]=$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +2G$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
formules en 2D	$(\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })$	$(M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$
$K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$			$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$
$E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$\lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }$
$G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$			$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$\nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$					${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$