Moyenne de Heinz

En mathématiques, la moyenne de Heinz, portant le nom du mathématicien allemand E. Heinz^[1], de deux nombres réels strictement positifs ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, est définie par la formule^[2] :

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(a,b)={\frac {a^{x}b^{1-x}+a^{1-x}b^{x}}{2}},}$

pour ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1/2}$.

Pour ${\displaystyle x}$ variant de ${\displaystyle 0}$ à ${\displaystyle 1/2}$ la moyenne de Heinz constitue une formule d'interpolation continue et décroissante entre les moyennes arithmétique et géométrique ; plus précisément, pour ${\displaystyle 0<x<x'<1/2}$, on a :

${\displaystyle {\sqrt {ab}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(a,b)<\operatorname {H} _{x'}(a,b)<\operatorname {H} _{x}(a,b)<\operatorname {H} _{0}(a,b)={\frac {a+b}{2}}.}$

Cette moyenne peut aussi être définie de façon similaire pour les matrices semi-définies positives et constitue alors une formule d'interpolation similaire à celle ci-dessus.

Propriétés

Composition

Pour deux nombres x et y, la composée :

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(\operatorname {H} _{y}(a,b),\operatorname {H} _{y}(a,b))}$

est aussi une moyenne de Heinz^[3].

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité de Muirhead
• Inégalité arithmético-géométrique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heinz mean » (voir la liste des auteurs).

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