Nœud bordant

Exemples
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Nœud de ruban

Un nœud bordant est un type de nœud mathématique.

Définitions

En théorie des nœuds, un nœud est un cercle inclus dans la 3-sphère :

S 3 = { x ∈ R 4 ∣ | x | = 1 } {\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}}

Cette 3-sphère peut être considérée comme le contour de la boule de rayon 1 et de dimension 4 :

B 4 = { x ∈ R 4 ∣ | x | ≤ 1 } . {\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.}

Un nœud K ⊂ S 3 {\displaystyle K\subset S^{3}} est dit bordant s'il délimite un disque D, de dimension 2, « bien intégré » dans la 4-boule B 4 {\displaystyle B^{4}} [1]. Ce que l'on entend par « bien intégré » dépend du contexte : il existe différents termes pour différents types de nœuds bordants. Si le disque D est plongé dans la 4-boule via une fonction lisse, alors K est à bord régulier. Si D n'est plongé que de façon localement plate dans la 4-boule, (ce qui est une hypothèse plus faible), alors K est un nœud topologiquement bordant.

Exemples

La liste suivante est la liste de tous les nœuds bordants comprenant 10 intersections ou moins; cette liste a été créée en utilisant The Knot Atlas :

6 1 {\displaystyle 6_{1}} , 8 8 {\displaystyle 8_{8}} , 8 9 {\displaystyle 8_{9}} , 8 20 {\displaystyle 8_{20}} , 9 27 {\displaystyle 9_{27}} , 9 41 {\displaystyle 9_{41}} , 9 46 {\displaystyle 9_{46}} , 10 3 {\displaystyle 10_{3}} , 10 22 {\displaystyle 10_{22}} , 10 35 {\displaystyle 10_{35}} , 10 42 {\displaystyle 10_{42}} , 10 48 {\displaystyle 10_{48}} , 10 75 {\displaystyle 10_{75}} , 10 87 {\displaystyle 10_{87}} , 10 99 {\displaystyle 10_{99}} , 10 123 {\displaystyle 10_{123}} , 10 129 {\displaystyle 10_{129}} , 10 137 {\displaystyle 10_{137}} , 10 140 {\displaystyle 10_{140}} , 10 153 {\displaystyle 10_{153}} et 10 155 {\displaystyle 10_{155}} .

Propriétés

Chaque nœud de ruban (en) est à bord régulier. Ralph Fox se demandait si chaque nœud à bord régulier était un nœud de ruban[2].

La signature (en) d'un nœud bordant est nulle[3]. Le polynôme d'Alexander d'un nœud bordant est le produit :

f ( t ) f ( t − 1 ) {\displaystyle f(t)f(t^{-1})}

où f {\displaystyle f} est un polynôme à coefficients entiers[3]. C'est ce qu'on nomme la condition Fox–Milnor[4].

Références

  1. ↑ Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 86.
  2. ↑ Robert E. Gompf, Martin Scharlemann et Abigail Thompson, « Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures" », Geometry & Topology, vol. 14, no 4,‎ , p. 2305–2347 (DOI 10.2140/gt.2010.14.2305, MR 2740649, arXiv 1103.1601).
  3. ↑ a et b Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 90.
  4. ↑ Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 61.

Bibliographie

  • W.B.Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer Science & Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (no 175), , x+204 (ISBN 9780387982540).

Voir également

  • Genre de bord (en)
  • Lien de bord (en)
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