Rayon de Larmor : En mécanique classique, En mécanique relativiste, Voir aussi Wikipédia, l'encyclopédie libre

Rayon de Larmor

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Le rayon de Larmor est un concept physique permettant de décrire le mouvement d'une particule chargée soumise à un champ magnétique constant. En effet, cette particule acquiert un mouvement circulaire caractérisé par son rayon.
L'expression de ce rayon dépend de la charge de la particule $Z\times e$ , de sa masse au repos $m_{0}$ , de son énergie cinétique $T$ , et de la valeur $B$ du champ magnétique.

En mécanique classique

Le rayon de Larmor en mécanique classique s'écrit :

$R={\frac {\sqrt {2m_{0}T}}{ZeB}}$ .

Démonstration :

Pour étudier le rayon de Larmor, nous nous plaçons dans un repère d'axes ${\vec {u_{x}}}$ , ${\vec {u_{y}}}$ et ${\vec {u_{z}}}$ . Pour simplifier, supposons que le champ magnétique soit orienté selon l'axe ${\vec {u_{z}}}$ , et que la vitesse initiale soit ${\vec {v_{0}}}=v_{0}{\vec {u_{x}}}$ .
La force de Lorentz appliquée à la particule, d'expression ${\vec {F}}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$ , est alors contenue dans le plan ${\vec {u_{x}}},{\vec {u_{y}}}$ . Ainsi le mouvement sera restreint à ce plan. Nous utiliserons donc uniquement les coordonnées $x$ et $y$ de la particule.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on en déduit que ces coordonnées vérifient les équations :

	$m_{0}{\ddot {x}}+ZeB{\dot {y}}=0$
et	$m_{0}{\ddot {y}}-ZeB{\dot {x}}=0$ .

En posant $X=x+iy$ et $Y=x-iy$ et $\omega _{0}=ZeB/m_{0}$ , on obtient :

	${\ddot {X}}-i\omega _{0}{\dot {X}}=0$
et	${\ddot {Y}}+i\omega _{0}{\dot {Y}}=0$

Ces équations différentielles ont pour solution :

	${\dot {x}}=v_{0}cos(\omega _{0}t)$
et	${\dot {y}}=v_{0}sin(\omega _{0}t)$

Et en intégrant encore une fois :

	$x={\frac {v_{0}}{\omega _{0}}}sin(\omega _{0}t)$
et	$y=-{\frac {v_{0}}{\omega _{0}}}cos(\omega _{0}t)$

Cela correspond à un mouvement circulaire de rayon ${\frac {v_{0}}{\omega _{0}}}={\frac {\sqrt {2m_{0}T}}{ZeB}}$

En mécanique relativiste

Le passage en mécanique relativiste fait intervenir la grandeur $\gamma =\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ (le facteur de Lorentz). En effet, il faut remplacer, dans l'expression du principe fondamental de la dynamique, la masse au repos $m_{0}$ par la masse effective $m=\gamma m_{0}$ . En reprenant la démonstration dans le cas classique, il faut préciser que la vitesse (ou bien ${\dot {X}}{\dot {Y}}$ ) est constante au cours du mouvement. Ainsi, $\gamma$ est aussi constant, et on peut reprendre le résultat $R={\frac {v_{0}}{\omega }}={\frac {\gamma m_{0}v_{0}}{ZeB}}$ . Finalement, comme la mécanique relativiste nous apprend que $T=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$ , on obtient la formule :

$R={\frac {m_{0}c}{ZeB}}{\sqrt {\left({\frac {T+m_{0}c^{2}}{m_{0}c^{2}}}\right)^{2}-1}}={\frac {m_{0}c\beta \gamma }{ZeB}}$ .

Remarque :

Pour retrouver la formule classique, il suffit de considérer l'énergie cinétique comme petite par rapport à l'énergie de masse au repos. On peut alors développer au premier ordre l'argument entre parenthèses sous la racine carrée.