Théorème de Chen

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Le mathématicien chinois Chen Jingrun.

En mathématiques, le théorème de Chen, démontré par Chen Jingrun, énonce que : « Tout entier pair suffisamment grand est la somme d'un nombre premier et d'un nombre premier ou semi-premier (c.-à-d. produit de deux nombres premiers). »

Ce théorème entre dans le cadre général des résultats profonds motivés par la célèbre conjecture de Goldbach (tout entier pair supérieur à 3 est somme de deux nombres premiers). Les démonstrations actuelles reposent essentiellement sur des méthodes de crible. Le résultat ci-dessus date de 1966[1]. Par la suite, diverses améliorations de ce théorème ont été obtenues. Par exemple, en 1978, Chen a démontré l'inégalité suivante[2]. Si P(N) désigne le nombre de nombres premiers p tels que N – p est également premier, on a :

P ( N ) ≤ 7,834 2 N ( ln ⁡ N ) 2 ( ∏ p > 2 ,   p | N p − 1 p − 2 ) ∏ p > 2 ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) . {\displaystyle P(N)\leq 7{,}8342{\frac {N}{(\ln N)^{2}}}\left(\prod _{p>2,~p|N}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right).}

La constante 7,8342 a été légèrement améliorée plus tard par D. H. Wu[3], qui a montré qu'elle pouvait être remplacée par 7,81565.

Notes et références

  1. ↑ (en) J. R. Chen, « On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes », Kexue Tongbao, vol. 11, no 9,‎ , p. 385-386
  2. ↑ (en) J. R. Chen, « On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, II », Sci. Sinica, vol. 16,‎ , p. 421-430
  3. ↑ (en) D. H. Wu, « An improvement of J. R. Chen’s theorem », Shanghai Keji Daxue Xuebao,‎ , p. 94-99

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