Tourbillon de Lamb-Oseen

Représentation vectorielle du tourbillon de Lamb–Oseen.

En mécanique des fluides le tourbillon de Lamb-Oseen est un écoulement tourbillonnaire de géométrie cylindrique et d'extension infinie, solution des équations de Navier-Stokes instationnaires pour les écoulements incompressibles. Il est ainsi nommé d'après les travaux de Horace Lamb et de Carl Wilhelm Oseen[1].

Il est décrit dans un système de coordonnées cylindriques par :

V θ ( r , t ) = Γ 2 π r [ 1 − exp ⁡ ( − r 2 r c 2 ) ] {\displaystyle V_{\theta }(r,t)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\left[1-\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{c}^{2}}}\right)\right]}

où

  • r {\displaystyle r} = est la coordonnée,
  • r c ( t ) = 4 ν t + r c ( 0 ) 2 {\displaystyle r_{c}(t)={\sqrt {4\nu t+r_{c}(0)^{2}}}} le rayon moyen,
  • ν {\displaystyle \nu } = viscosité cinématique,
  • Γ {\displaystyle \Gamma } = circulation de cet écoulement.

La vitesse radiale est nulle.

la vitesse est maximale à la distance[2] :

r max ( t ) = α r c ( t ) {\displaystyle r_{\max }(t)={\sqrt {\alpha }}r_{c}(t)}

où α = 1.25643... {\displaystyle \alpha =1.25643...}

Le tourbillon est donné par[3] :

Ω ( r , t ) = Γ π r c 2 exp ⁡ ( − r 2 r c 2 ) V θ ( r , t ) = V θ ( r max ) ( 1 + 1 2 α ) r max r [ 1 − exp ⁡ ( − α r 2 r max 2 ) ] {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\Omega (r,t)&=&{\frac {\Gamma }{\pi r_{c}^{2}}}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{c}^{2}}}\right)\\[0.6em]V_{\theta }(r,t)&=&V_{\theta }(r_{\max })\left(1+{\frac {1}{2\alpha }}\right){\frac {r_{\max }}{r}}\left[1-\exp \left(-\alpha {\frac {r^{2}}{r_{\max }^{2}}}\right)\right]\end{array}}}

Le champ de pression associé est[4] :

∂ p ∂ r = ρ V θ 2 r {\displaystyle {\partial p \over \partial r}=\rho {V_{\theta }^{2} \over r}}

où ρ est la masse volumique.

Références

  1. ↑ (en) P. G. Saffman, Mark J. Ablowitz, J. Hinch, J. R. Ockendon, Peter J. Olver, Vortex dynamics, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-47739-5)
  2. ↑ (en) William J. Devenport, Michael C. Rife, Stergios I. Liapis et Gordon J. Follin, « The structure and development of a wing-tip vortex », Journal of Fluid Mechanics, vol. 312,‎ , p. 67–106 (DOI 10.1017/S0022112096001929)
  3. ↑ (en) Jie-Zhi Wu, Hui-Yang Ma et Ming-De Zhou, Vorticity and Vortex Dynamics, Berlin, Springer-Verlag, , 776 p. (ISBN 3-540-29027-3)
  4. ↑ (en) George K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge/New York, Cambridge University Press, , 615 p. (ISBN 0-521-66396-2)
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lamb–Oseen vortex » (voir la liste des auteurs).
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