Vitesse quadratique moyenne

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La vitesse quadratique moyenne est la racine carrée de la moyenne du carré de la vitesse :

${\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}.}$

C'est un exemple de la notion mathématique de moyenne quadratique, appliquée à la théorie cinétique des gaz. Selon cette théorie, la vitesse des molécules d'un gaz parfait suit la loi de distribution des vitesses de Maxwell, dont la densité de probabilité est :

${\displaystyle f(v)=\left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}4\pi \,v^{2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}}$

où m désigne la masse d'une molécule, k_B la constante de Boltzmann et T la température (absolue). Alors :

${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\,\mathrm {d} v={\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}$   donc   ${\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}.}$

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