Cauchy-konvergenciakritérium

A Cauchy-kritérium feltétel egy sorozat konvergenciájának eldöntésére.

Ha definíció szerint szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens-e, akkor előre tudnunk kellene a sorozat határértékét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a határérték előzetes ismeretét. Emiatt ezt a kritériumot "belső" konvergencia-kritériumnak nevezzük, ugyanis a sor "belső" szerkezeti tulajdonsága alapján dönti el a konvergencia tényét. A Cauchy-kritérium csak teljes metrikus terekben érvényes.

A Cauchy-kritérium

Tétel: Legyen ${\displaystyle (X,\rho )}$ metrikus tér és ${\displaystyle (a_{n})\subseteq X}$ sorozat, ha ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$, akkor minden ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esetén létezik olyan ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, amelyre minden ${\displaystyle n,m\geq N}$ esetén ${\displaystyle \rho (a_{n},a_{m})<\varepsilon }$.

Bizonyítás: Mivel ${\displaystyle \lim(a_{k})=a\Rightarrow {\varepsilon \over 2}>0}$ számhoz ${\displaystyle \exists k_{0}:k,l>0}$ esetén ${\displaystyle \rho (a_{k},a)<{\varepsilon \over 2}\Rightarrow k,l>k_{0}\Rightarrow \rho (a_{k},a_{l})\leq \rho (a_{k},a)+\rho (a,a_{l})<{\varepsilon \over 2}+{\varepsilon \over 2}=\varepsilon .}$

Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

1. a ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ végtelen sor konvergens
2. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n,m\in \mathbf {Z} ^{+}\quad n>m>N\quad \Rightarrow \quad \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon \,}$

Ez azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat.

Lásd még

• Gyökkritérium
• Hányadoskritérium
• Majoráns kritérium

Irodalom

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9