Centripetális gyorsulás

Centripetális gyorsulásnak nevezzük a fizikában az egyenletes körmozgás gyorsulását, amely a sebesség irányváltoztatásaiból adódik. Általánosabban, így nevezzük azt a gyorsulást, amivel egy testnek gyorsulnia kell ahhoz, hogy egy görbe mentén mozogjon. Nevét onnan kapta, hogy egyenletes körmozgás esetén a gyorsulás merőleges az érintőirányú sebességre, vagyis a kör középpontja (centruma) felé mutat, más szóval sugárirányú (centripetális, centri = középpont, peta = tart valami felé). Iránya általában is merőleges a pálya adott pontbeli érintőjére, és az adott pontbeli simulókör középpontja felé mutat.

Példák

Egy kocsi bekanyarodása azért lehetséges, mert hat rá egy erő: a tapadási súrlódási erő, ami a kanyar középpontja felé mutat. Ez az erő a gumiabroncs és az aszfalt közötti súrlódás révén keletkezik. Ha ez az erő hiányzik, akkor a kocsi tehetetlensége miatt egyenes vonalban mozog tovább, és kicsúszik a kanyarból.
Egy homogén mágneses térben elektronok mozognak a térerő irányára merőlegesen. Ekkor a Lorentz-erő a mozgás és a mágneses tér irányára merőlegesen eltéríti, és körpályára kényszeríti őket. Ebben az esetben a Lorentz-erő centripetális erőként működik.
A Föld Nap körül keringését a gravitációs erő biztosítja. A Föld pályája kör alakúnak tekinthető; ekkor a centripetális erő megegyezik a gravitációs erővel.

Pontosabban: a Föld nem kör, hanem ellipszis mentén mozog, aminek az egyik fókuszpontjában helyezkedik el a Nap. Ekkor a gravitációs erő iránya egy érintő irányú komponensben eltér a helyi centripetális erőtől. Ezért a bolygó gyorsabban mozog napközelben, mint naptávolban.

Képletek

A centripetális erő a helyi simulókör középpontja felé mutat. Legyen a mozgó test tömege m, sebességének nagysága v, és a helyi simulókör sugara r. Ekkor a centripetális erő nagysága:

F_{C}={\frac {m\cdot v^{2}}{r}}

Az ω nagyságú szögsebességgel:

\,F_{C}=m\omega ^{2}r

Jelölje a test távolságát a simulókör középpontjától ${\vec {r}}$ , és ${\vec {\omega }}$ a test szögsebességét! Ekkor a centripetális erő felírható vektoriális szorzatként:

{\vec {F_{C}}}=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})

Leosztva a test m tömegével:

a_{C}={\frac {v^{2}}{r}}

Az ω nagyságú szögsebességgel:

a_{C}=\omega ^{2}\cdot r

Vektoriális szorzatként:

{\vec {a_{C}}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})

vagy

{\vec {a_{C}}}={\vec {\omega }}({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}})-|{\vec {\omega }}|^{2}{\vec {r}}

Az általános esetben mindig csak a pillanatnyi erő, illetve gyorsulás számítható ezekkel a képletekkel. Ha a test körpályán mozog, akkor az erő, és a gyorsulás is csak az irányát változtatja, nagysága állandó.

Az egyenletes körmozgás során fellépő gyorsulás vizsgálata

Iránya

A gyorsulás meghatározásához jelöljük a t időpillanatban a P-pontban lévő tömegpont sebességét v-vel (PA-vektor). Δt idő múlva a tömegpont a körpályán P-ből P'-be jut, miközben Δs = r Δφ utat tesz meg. A P'-pontban a tömegpont sebességét jelöljük v'-vel (P'B-vektor). Mivel egyenletes körmozgásról beszélünk, a sebesség nagysága mindkét esetben v. A v' vektort eltolhatjuk a P-pontba és megszerkeszthetjük a Δv = v' – v vektort (AD vektor). Mivel a PA szakasz merőleges az OP szakaszra és a PD szakasz pedig merőleges az OP' szakaszra, ezért a PAD egyenlő szárú háromszög P-nél lévő szöge a Δφ szöggel egyenlő és így az A-nál lévő szög (180° - Δφ)/2. Ha tehát Δt és ezzel együtt Δφ a zérushoz tart, akkor az így adódó $\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$ gyorsulásvektor merőleges lesz a P-beli érintőre, vagyis a kör középpontja felé irányul.

Nagysága

A PAD háromszög AD oldala (Δv vektor hossza) igen kicsiny Δφ esetében:

|\Delta v|=v\cdot \Delta \phi =v\cdot {\Delta s \over r}

, tehát

{|\Delta v| \over \Delta t}={v \over r}\cdot {\Delta s \over \Delta t}

ahol r a körpálya sugara.

Mivel a ${\frac {\Delta s}{\Delta t}}$ hányados $\Delta t\to 0$ -ra ${\frac {ds}{dt}}=v$ felé tart, a gyorsulás nagysága: $a={v^{2} \over r}$

Összefoglalva, képletek

Azt kaptuk tehát, hogy az egyenletes körmozgásnál a gyorsulás a kör középpontja felé irányul és nagysága megegyezik a sebesség négyzetének és a tömegpont mozgása által leírt kör ( pálya ) sugarának a hányadosával, vagy más módon számolva a szögsebesség négyzetének és a sugárnak a szorzatával:

a_{cp}={v^{2} \over r}=\omega ^{2}\cdot r

Ez az állandó nagyságú, de folytonosan változó irányú gyorsulás az ún. centripetális gyorsulás (más néven normális vagy radiális gyorsulás).

Források

Isaac Newton: Philosophiae naturalis Principia mathematica. Cambridge, London 1726, új kiadás: Alexandre Koyré, I. Bernard Cohen. London 1971.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zentripetalkraft című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.