Differenciálgép

A differenciálgép (difference engine) olyan mechanikus számológép, amely képes polinomfüggvények táblázatait kiszámolni. Mivel számos bonyolultabb függvény, többek között a logaritmus és a trigonometrikus függvények is közelíthetőek hatványsorral, egy ilyen gép sokoldalú számításokra képes.

Története

Az első ilyen tervet Johann Müller készítette 1786-ban, de nem építette meg a gépet. Az ötlet feledésbe merült, és Charles Babbage fedezte fel újra 1822-ben, a Royal Astronomical Society-hez írt „Note on the application of machinery to the computation of very big mathematical tables.” („a nagyon nagy matematikai táblázatok gép általi kiszámításáról”) című cikkében. A gép tízes számrendszert használt, és egy kar tekerésével lehetett működtetni. Babbage az angol kormány anyagi támogatásával elkezdte építeni a gépet, de hamarosan áttért egy sokkal általánosabb analitikus gép tervezésére. Később, 1847–49 között elkészítette egy fejlettebbb differenciálgép, a „Difference Engine No. 2” terveit. Ezekre alapozva 1855 után Per Georg Scheutz, majd Martin Wiberg épített differenciálgépet.

1991-re, Babbage születésének kétszázadik évfordulójára a londoni Science Museum Babbage tervei alapján elkészítette a Difference Engine No. 2 korhű mását, korabeli gyártási technológia felhasználásával. 2000-ben rekonstruálták a Babbage által a géphez tervezett nyomtatót is. Néhány apróbb hibát ki kellett javítaniuk Babbage terveiben, de ezután a gépek tökéletesen működtek, és működnek ma is. Ezzel eldőlt a hosszú ideje tartó vita, hogy lehetséges lett volna-e Babbage tervei alapján működőképes gépet készíteni a korabeli technológiával elérhető pontosság mellett.

Működése

A differenciálgép egy sor oszlopból áll, minden oszlop egy tízes számrendszerbeli számot tud tárolni. A gép egyetlen műveletre képes, egy oszlop értékének az előző oszlopéhoz való hozzáadására. Az utolsó oszlop csak egy konstanst tud tárolni, az első oszlop jelzi (vagy nyomtatja) ki az eredményt.

A gép programozása az egyes oszlopok kezdeti értékeinek beállításából áll. Az első oszlopba a polinom egy adott helyen felvett értéket kellett állítani, a továbbiakban a deriváltak értékeit. Ezután a gépet meghajtva az oszlopok forogni kezdenek, és az oszlopok értéke négy fázisban (egy a páratlan, egy a páros oszlopoknak, azon belül pedig egy az összeadásnak, egy az átvitelnek) hozzáadódnak az előttük lévőhöz.

Matematikai háttér

Mivel a gép nem tud szorozni, nem képes kiszámolni egy polinom értékét. Ha azonban egy adott érték (a deriváltakkal együtt) már rendelkezésre áll, a Newton-módszer alkalmazásával közelítően ki tudja számolni a függvény értékét más helyeken: ha a táblázatot ${\displaystyle h}$ beosztással kell elkészíteni, legyen

${\displaystyle \Delta _{h}f(a)=f(a+h)-f(a)\,}$,

ekkor

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)\,}$.

${\displaystyle \Delta _{h}f\,}$-re is alkalmazhatjuk ugyanezt az eljárást:

${\displaystyle \Delta _{h}^{2}f(a)=\Delta _{h}f(a+h)-\Delta _{h}f(a)=[f(a+2h)-f(a+h)]-[f(a+h)-f(a)]}$,

és

${\displaystyle \Delta _{h}f(a+h)=\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}^{2}f(a)}$,

amiből

${\displaystyle f(a+2h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}f(a+h)=f(a)+\Delta _{h}f(a)+(\Delta _{h}f(a)+\Delta _{h}^{2}f(a))}$.

A különbségeket ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle n}$ különböző értéke alapján ${\displaystyle n}$ szintig kiszámolva ${\displaystyle \Delta _{h}^{n}}$-t vehetjük a-tól független konstansnak, és így közelíthetjük ${\displaystyle f(a+kh)}$ értékét tetszőleges ${\displaystyle k}$-ra; a differenciálgép éppen ezt teszi, az ${\displaystyle i}$-edik tengelyt ${\displaystyle \Delta _{h}^{i}}$-nek megfeleltetve. (Mai fogalmakkal azt mondhatjuk, hogy a gép Taylor-sorának első ${\displaystyle n}$ tagjával közelíti a függvényt.)

Példa

Vegyük a ${\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2}$ másodfokú polinomot. A ${\displaystyle p(0)}$, ${\displaystyle p(1)}$, ${\displaystyle p(2)}$ értékeket kézzel kiszámítva, majd ezekből a differenciákat és azokból a további függvényértékeket kifejezve az alábbi eredményt kapjuk:

${\displaystyle p(0)=2.0}$ *
	${\displaystyle \Delta p(0)=1.72-2.0=-0.28}$ **
${\displaystyle p(0.1)=1.72}$ *		${\displaystyle \Delta ^{2}p(0)=0.24-0.28=0.04}$ **
	${\displaystyle \Delta p(0.1)=1.48-1.72=-0.24}$ **
${\displaystyle p(0.2)=1.48}$ *		${\displaystyle 0.04}$ ***
	${\displaystyle -0.24+0.04=-0.20}$ ****
${\displaystyle p(0.3)=1.48-0.20=1.28}$ ****		${\displaystyle 0.04}$ ***
	${\displaystyle -0.20+0.04=-0.16}$ ****
${\displaystyle p(0.4)=1.28-0.16=1.12}$ ****

* Kézzel kiszámított érték

** A két balra fent és a balra lent található elem különbsége

*** A fölötte levő elemmel azonos

**** A fölötte és a tőle jobbra fel található elem összege

Mivel a másodfokú függvény második deriváltja konstans, itt nem keletkezett közelítési hiba azzal, hogy ${\displaystyle \Delta ^{2}p}$-t állandónak vettük.

Lásd még

• A gépezet (Bruce Sterling és William Gibson regénye Babbage gépéről)

További információk

• Részletes ismertető a gép működéséről
• A Science Museum oldala a gépről
• Differenciálgép legóból