A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények
terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:
- Van
része
, supp
, supp
része ![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
- Tetszőleges
indexvektor esetén
egyenletesen
-n.
Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.
Példák
- Legyen az
függvény értelmezve az
halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen
az a funkcionál, ami a
függvényhez az
értéket rendeli. Ekkor
disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik. - A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen
Rendelje a
funkcionál a
függvényhez a
helyettesítési értéket. Ekkor
nem reguláris disztribúció. - Legyen az
függvény értelmezve az
halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen
rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a
függvényhez az
értéket.
Tétel: A reguláris disztribúció
majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az
függvényt.
Műveletek
Összeadás:
disztribúció
-n; ekkor
Számmal szorzás:
Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés:
Konvergencia: legyenek
disztribúciók; ekkor
ha minden rögzített
-re
Függvénnyel szorzás: legyen
; ekkor
lokálisan, ha minden
elemhez van
nyílt környezete, ahol
Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.
Deriválás:
disztribúció;
Direkt szorzat:
disztribúciók;
tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris
Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def
* értelemben → azonosan 1-hez, ha
1. minden
esetén
egyenletesen
minden rögzített kompakt részhalmazban
2. minden
indexvektorhoz van
minden
minden
-re. Definíció:
A konvolúció nem mindig létezik.
Források
Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek