Fermi-féle aranyszabály

A Fermi-féle aranyszabály egy kvantummechanikai összefüggés, mellyel megadható, hogy egy folytonos energiaspektrumú, gyengén perturbált kvantumrendszer energia-sajátállapotai között milyen az átmenetek egységnyi időre vetített valószínűsége.^[1] Gyakori alkalmazása például az atomfizikában az elektromágneses sugárzás hatására történő atomi és molekulagerjesztések (és ezzel az atomi színképvonalak) leírása, illetve a magfizikában az atommagok energiaátmeneti valószínűségeinek jellemzése.

Bár a formula Enrico Fermi nevét viseli, mivel azt a fontossága miatt ő nevezte el „2. aranyszabálynak”,^[2] de elsősorban Paul Dirac elméleti fizikus eredményének tartják az összefüggés levezetését.^[3][4]

Az összefüggés

Legyen egy ${\textstyle {\hat {\cal {H}}}_{0}}$ Hamilton-operátorral jellemzett rendszer egy kezdeti sajátállapota ${\displaystyle |k\rangle }$. A rendszerre hat egy (esetleg időfüggő) ${\textstyle {\hat {\cal {{H}'}}}}$ perturbáció.

Gyakori példák az alábbiak:

• időfüggetlen perturbáció esetén a rendszer a ${\displaystyle |k\rangle }$ kezdeti sajátállapot sajátenergiájával megegyező energiájó állapotokba kerülhet;
• harmonikus időfüggésű, ${\displaystyle \omega }$ körfrekvenciájú perturbáció a rendszert a ${\displaystyle |k\rangle }$ kezdeti sajátállapot sajátenergiájánál ${\displaystyle \hbar \omega }$ energiával kisebb, vagy nagyobb állapotba juttathatja.

A fentiekre egyaránt érvényes, hogy egy ${\displaystyle |k\rangle }$ kezdeti állapot és sok lehetséges ${\displaystyle |v\rangle }$ végső állapot között megadható átmeneti ráta (időegységnyi valószínűség) gyakorlatilag állandó:

${\displaystyle W_{k\rightarrow v}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle v|{\hat {\cal {{H}'}}}|k\rangle |^{2}\rho }$,

ahol ${\displaystyle \langle v|{\hat {\cal {{H}'}}}|k\rangle }$ a ${\textstyle {\hat {\cal {{H}'}}}}$ perturbáció braket-jelöléssel megadott megfelelő mátrixeleme ${\displaystyle |k\rangle }$ kezdeti és ${\displaystyle |v\rangle }$ végállapot között, ${\displaystyle \rho }$ pedig a végállapotok állapotsűrűsége.

Alkalmazások

Elektromágneses atomi gerjesztés

Egy ${\displaystyle \omega }$ körfrekvenciájú periodikus perturbáció esetén az átmeneti ráta a Fermi-féle aranyszabállyal adható meg.^[5] A harmonikus időfüggésű perturbációt az alábbiak szerint jellemezhetjük:

${\displaystyle {\hat {V}}(t)=\left(V^{(+)}e^{-i\omega t}+V^{(-)}e^{i\omega t}\right)\theta (t)}$,

ahol a perturbáció szorzójaként írt ${\textstyle \theta (t)}$ Heaviside-függvény (lépcsőfüggvény) gondoskodik a bekapcsolásról, azaz hogy ${\textstyle t=0}$ időpillanat előtt a rendszer perturbálatlan, majd ezt követően harmonikus perturbáció hatása alatt van. A ${\textstyle V^{(+)}}$ legyen Hermitikus, azaz önadjungált(wd) operátor:

${\displaystyle V^{(+)}=\left(V^{(-)}\right)^{+}}$.

A fenti perturbáció megfelelhet például egy ${\textstyle t=0}$-ig sajátállapotban levő, majd ${\textstyle t=0}$ pillanattól kezdve elektromágneses hullámmal gerjesztett rendszernek, amennyiben a hullámhossz lényegesen nagyobb, mint a rendszer mérete. Azaz például leírható vele egy atom és egy elektromágneses hullám kölcsönhatása.

Tekintsük azt az esetet, amikor a ${\textstyle t=0}$ után a periodikus perturbáció „bekapcsolva marad”. Ekkor igen sok idő után az átmeneti ráta állandósul, határértéke pedig:

${\displaystyle W_{n\rightarrow m}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {dP_{n\rightarrow m}}{dt}}}$.

A ${\textstyle P_{n\rightarrow m}}$ átmeneti valószínűség ${\textstyle \Omega _{+}=\omega _{m}-\omega _{n}-\omega }$ és ${\textstyle \Omega _{-}=\omega _{m}-\omega _{n}+\omega }$ jelölésekkel:

${\displaystyle P_{n\rightarrow m}(t)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{0}^{t}\left[V_{nm}^{(+)}e^{i\Omega _{+}t}+V_{nm}^{(-)}e^{i\Omega _{-}t}\right]dt\right|^{2}}$.

Az integrál elvégzése, majd a tagok komplex konjugáltjukkal beszorzása után az átmeneti valószínűség az alábbi alakra hozható:

${\displaystyle P_{n\rightarrow m}^{\pm }(t)={\frac {2\pi t}{\hbar ^{2}}}\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|^{2}\cdot \delta (\omega _{m}-\omega _{n}\mp \omega )}$.

Ez a függvény időben lineárisan nő. Az átmeneti ráta (időegység alatti valószínűség) ennek idő szerinti deriváltja, azaz időben állandó. A ráta frekvenciák helyett energiákkal is kifejezhető:

${\displaystyle W_{n\rightarrow m}^{\pm }={\frac {2\pi }{\hbar ^{2}}}\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|^{2}\cdot \delta (\omega _{m}-\omega _{n}\mp \omega )={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|^{2}\cdot \delta (\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n}\mp \hbar \omega )}$,

amely a Fermi-féle aranyszabállyal megadott átmeneti ráta az adott gerjesztő perturbáció mellett.

A Dirac-delta függvény formálisan vagy végtelen, vagy nulla, így a fenti összefüggés úgy lesz konzisztens, ha a végállapotoknak olyan az állapotsűrűsége, hogy az integrál elvégezhető legyen. Ennek megfelelően a Fermi-aranyszabály fentiek szerint jellemzően olyan esetben alkalmazható, ha például egy atomi spektrumban megadható egy folytonos állapotsűrűség, és a kibocsátott, vagy elnyelt foton energiája is folytonos lehet.

Ha megadjuk, hogy az atomi spektrumban milyen a végállapotok ${\textstyle \rho (\varepsilon )}$ állapotsűrűsége (azaz az egységnyi ${\displaystyle [\varepsilon ;\varepsilon +d\varepsilon ]}$energiatartományba eső állapotok száma), akkor a fenti összefüggés az alábbiak szerint írható át:

${\displaystyle W_{n}^{\pm }={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|^{2}\rho (\varepsilon )}$.

Magfizikai γ-bomlás

A gamma-sugárzáshoz vezető bomlási magreakció elektromágneses természetű. A jelenség teljesebb leírásához relativisztikus kvantum-elektrodinamikai térelméleti leírás szükséges, de bizonyos feltételek mellett félklasszikus leírása is adható a Fermi-féle aranyszabály segítségével.^[6] Az elektromágneses teret ekkor klasszikusan értelmezik, a lehetséges végállapotok állapotsűrűségét pedig ${\textstyle \rho (k)={\frac {dn}{dE_{k}}}}$ alakban adják meg. A Fermi-aranyszabály értelmében:

${\displaystyle W_{k\rightarrow v}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle v|{\hat {\cal {{H}'}}}|k\rangle |^{2}\rho (k)}$.

Mivel a kezdeti állapotban még nincs jelen a kibocsátandó foton, csak a gerjesztett mag, ezért a kezdeti állapotfüggvény:

${\displaystyle \psi _{k}=\psi _{a}e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}}$,

ahol ${\textstyle \psi _{a}}$ a mag állapotfüggvénye. A végállapotot a legerjedő mag és a kibocsátott foton együttese adja, így a végállapot már összetett:

${\displaystyle \psi _{v}=\psi _{b}e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}\cdot {\frac {\varepsilon }{\sqrt {V}}}e^{\pm i(kr-\omega t)}}$,

ahol ${\displaystyle \varepsilon }$a foton polarizációs vektora, a fotont pedig elektromágneses síkhullámként értelmezzük. Az átmeneti mátrixelem a fentiekkel az alábbi szerint adható meg:

${\displaystyle M_{vk}=\langle v|{\hat {\cal {{H}'}}}|k\rangle =\int \psi _{b}^{*}e^{-ikr}{\frac {\varepsilon }{\sqrt {V}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}(E_{b}\pm \hbar \omega -E_{a})t}{\hat {O}}\psi _{a}d^{3}r}$,

ahol ${\textstyle {\hat {O}}}$ a kölcsönhatást leíró perturbáció operátora.

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Fermi's golden rule című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Szakkönyvek

• Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.  
• Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II: Fémek, félvezetők, szupravezetők. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2010. 1068. o. ISBN 9789633120286  

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

• Atom- és molekulaszerkezet (PDF). FizWeb TételWiki pp. 4. ELTE, 2009. augusztus 19. (Hozzáférés: 2018. július 6.)
• Kis Dániel Péter: Válogatott fejezetek a magfizikából (egyetemi jegyzet). BME Nukleáris Technikai Intézet, 2011. [2018. július 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. július 6.)
• Transition Probabilities and Fermi's Golden Rule. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. (Hozzáférés: 2018. július 6.)
• Stefan Franzen: Transitions among states - The Fermi Golden Rule. Molecular Spectroscopy Lecture Notes 15, 2010. [2018. július 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. július 6.)