Implikáció

Az implikáció csak akkor hamis, hogyha A igaz, és B hamis. Ez a tartomány a Venn-diagramon fehér.
Klasszikusan A → B ⇔ ¬ A ∨ B {\displaystyle A\rightarrow B\Leftrightarrow \neg A\lor B}

A → B ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } ¬A ∨ {\displaystyle \lor } B

Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.

Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.

Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha 2 ⋅ 2 = 5 {\displaystyle 2\cdot 2=5} , akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindkét tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.

Jelölése

Az implikációt jelölheti → nyíl, ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } kettős nyíl, vagy ⊃ {\displaystyle \supset } patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt jellel fejezte ki fogalomírásában.

Igazságtáblája

Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük:

p q p→q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele.[1] Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.

A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás.[2] Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.

Tulajdonságai

Az implikáció:

  • disztributív önmagára: ( s → ( p → q ) ) → ( ( s → p ) → ( s → q ) ) {\displaystyle (s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))}
  • tranzitív: ( ( a → b ) → ( b → c ) ) → ( a → c ) {\displaystyle ((a\rightarrow b)\rightarrow (b\rightarrow c))\rightarrow (a\rightarrow c)}
  • reflexív: a → a {\displaystyle a\rightarrow a}
  • Teljesül a totalitás is: ( a → b ) ∨ ( b → a ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\vee (b\rightarrow a)}
  • igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz
  • az előfeltételek felcserélhetősége:

( a → ( b → c ) ) ≡ ( b → ( a → c ) ) {\displaystyle (a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))}

A p → q {\displaystyle p\rightarrow q} formula ekvivalens ¬ p ∨ q {\displaystyle \lnot p\lor q} -val, és a De Morgan-szabály alapján ¬ ( p ∧ ¬ q ) {\displaystyle \lnot (p\land \lnot q)} -val (inferencia).[3] A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a ¬ p ∨ q {\displaystyle \lnot p\lor q} képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik ¬ p ∨ q {\displaystyle \lnot p\lor q} .

Jegyezzük meg, hogy a → ( b → c ) {\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)} logikailag ekvivalens ( a ∧ b ) → c {\displaystyle (a\land b)\rightarrow c} -vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra: a → b → c {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c} azt jelenti, hogy a → ( b → c ) {\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)} .

Az A → B {\displaystyle A\rightarrow B} implikáció kifejezhető úgy is, mint ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\lor B} . A ¬ ( A → B ) {\displaystyle \neg (A\rightarrow B)} tagadás megfelel A ∧ ¬ B {\displaystyle A\land \neg B} -nek.

A dialogikus logikában

A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják:

Implikáció Támadás Védekezés
A → B {\displaystyle A\rightarrow B} A ? {\displaystyle A?} B {\displaystyle B}

A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia.

Formális összekötőként

Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá:[1]

  • modus ponens
  • kondicionális bizonyítás
  • klasszikus kontrapozíció
  • klasszikus reductio ad absurdum

A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így (p → q) ⇒ ¬p ∨ q nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást.

A formális logikában

A formális logikában megkülönböztetik a ⊨ {\displaystyle \models } szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy A ⊨ B {\displaystyle A\models B} , hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással:

  • Ha Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } , akkor ∅ ⊨ ( φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ n → ψ ) {\displaystyle \varnothing \models (\varphi _{1}\land \dots \land \varphi _{n}\rightarrow \psi )} valamely φ 1 , … , φ n ∈ Γ {\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in \Gamma } esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből.
  • Ugyanez teljesül megfordítva is.
  • Mindkét reláció monoton, azaz, ha Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } , akkor Δ ∪ Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi } , és ha φ → ψ {\displaystyle \varphi \rightarrow \psi } , akkor ( φ ∧ α ) → ψ {\displaystyle (\varphi \land \alpha )\rightarrow \psi } valamely

α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.

Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban.

A természetes nyelvben

A természetes nyelvben:

  • Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz.
  • Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.

Források

  • Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1.
  • Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens. Metzler, Stuttgart 1996, ISBN 3-476-01371-5.
  • Kuno Lorenz, Paul Lorenzen: Dialogische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06707-X.
  • Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.

Jegyzetek

  1. ↑ a b Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)
  2. ↑ Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
  3. ↑ Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. [2013. szeptember 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 28.)

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Subjunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Material conditional című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a logikával kapcsolatos lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!