Legendre-féle khi-függvény

A matematikában a Legendre-féle khi-függvény egy olyan függvény, amelynek a Taylor-sora megegyezik a Dirichlet-sorával. Azaz

χ ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}

Ezzel a polilogaritmus Dirichlet-sorára hasonlít, és valóban kifejezhető a polilogaritmussal:

χ ν ( z ) = 1 2 [ Li ν ⁡ ( z ) − Li ν ⁡ ( − z ) ] . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}

Megjelenik a diszkrét Fourier-transzformációban a ν rendet tekintve, a Hurwitz-féle zéta-függvénynél, és az Euler-polinomoknál.

A Lerch-transzcendens speciális esete, és megadható, mint

χ ν ( z ) = 2 − ν z Φ ( z 2 , ν , 1 / 2 ) . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}

Azonosságok

χ 2 ( x ) + χ 2 ( 1 / x ) = π 2 4 − i π 2 | ln ⁡ x | ( x > 0 ) . {\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}|\ln x|\qquad (x>0).}
d d x χ 2 ( x ) = a r c t a n h x x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}

Integrálkapcsolatok

∫ 0 π / 2 arcsin ⁡ ( r sin ⁡ θ ) d θ = χ 2 ( r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)}
∫ 0 π / 2 arctan ⁡ ( r sin ⁡ θ ) d θ = − 1 2 ∫ 0 π r θ cos ⁡ θ 1 + r 2 sin 2 ⁡ θ d θ = 2 χ 2 ( 1 + r 2 − 1 r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}
∫ 0 π / 2 arctan ⁡ ( p sin ⁡ θ ) arctan ⁡ ( q sin ⁡ θ ) d θ = π χ 2 ( 1 + p 2 − 1 p ⋅ 1 + q 2 − 1 q ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}
∫ 0 α ∫ 0 β d x d y 1 − x 2 y 2 = χ 2 ( α β ) h a     | α β | ≤ 1 {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {ha}}~~|\alpha \beta |\leq 1}

Források

  • Weisstein, Eric W.: Legendre's Chi Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
  • Djurdje Cvijović (2006). „Integral representations of the Legendre chi function”, Kiadó: Elsevier. DOI:10.1016/j.jmaa.2006.10.083. (Hozzáférés: 2006. december 15.)  [halott link]
  • Mathematics Stack Exchange