Lineáris altér

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét; azaz a másik altérben definiált összeadás és szorzás nem vezet ki belőle.

Minden lineáris altér generálható a kiindulási tér néhány lineárisan független vektorával. Két altér összege és metszete szintén lineáris altér, melyek dimenziója a dimenzióképlettel számítható. Minden lineáris altérnek van kiegészítő altere, mellyel vett direkt összege a kiindulási vektorteret adja. Minden altérhez rendelhető faktortér, ami úgy keletkezik, hogy az eredeti tér vektorait az altér mentén párhuzamosan vetítjük.

A lineáris algebrában az altereket arra használják, hogy jellemezzék lineáris leképezések mag- és képterét, lineáris egyenletek megoldáshalmazát és sajátértékproblémák sajáttereit. A funkcionálanalízisben Hilbert-terek, Banach-terek altereit és duális tereket vizsgálnak. Az alterek sokoldalú alkalmazásokkal bírnak, mint például nagy lineáris és differenciál-egyenletrendszerek numerikus megoldása, optimalizálásban, kódoláselméletben és jelfeldolgozásban.

Definíció

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ${\displaystyle \in }$ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Tulajdonságok

Tétel

Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

1. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in W}$ és
2. ${\displaystyle \mathbf {v} \in W,\lambda \in F\Rightarrow \lambda \mathbf {v} \in W}$

Bizonyítás

Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.

Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen v ∈ W tetszőleges, 2. miatt 0 = 0v ∈ W nullelem, és -v = (-1)v ∈ W inverz. Tehát W az összeadásra csoportot alkot, így részcsoport V-ben, tehát W is Abel-csoport. Ezzel W is vektortér.

W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.

Példák

Konkrét példák

A ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ tér vektortér a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra. Legyen továbbá ${\displaystyle U}$ azoknak az ${\displaystyle (x,y)}$ vektoroknak a halmaza, melyekre igaz, hogy ${\displaystyle x=y}$! Ekkor ${\displaystyle U}$ altere a ${\displaystyle V}$ vektortérnek, mivel minden ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ esetén:

• ${\displaystyle (0,0)}$ benne van ${\displaystyle U}$-ban,
• ${\displaystyle (a,a)+(b,b)=(a+b,a+b)\in U}$
• ${\displaystyle c\cdot (a,a)=(c\cdot a,c\cdot a)\in U}$

Egy tvábbi példaként tekintsük az ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fölött definiált ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ valós függvények vektorterét! Ez a szokásos összeadással és skalárral szorzással vektorteret alkot. Ebben a vektortérben a ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ lineáris függvények alteret alkotnak, hiszen minden ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ esetén:

• az ${\displaystyle x\mapsto 0x+0}$ nullfüggvény benne van
• ${\displaystyle f(x)+g(x)=(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d)}$, így ${\displaystyle f+g\in U}$
• ${\displaystyle c\cdot f(x)=c\cdot (ax+b)=(c\cdot a)x+(c\cdot b)}$, tehát ${\displaystyle c\cdot f\in U}$

Általánosabb példák

• bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
• a valós számok, mint valós számok fölötti vektortérben az összes altér az egész tér és csak a 0 vektorból álló altér,
• a valós számok fölötti komplex ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vektortérben a valós számok ${\displaystyle \mathbb {R} }$ halmaza és a tisztán képzetes számok halmaza, ${\displaystyle i\mathbb {R} }$ alterek;
• az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ euklideszi sík vektortérben az origón átmenő egyenesek alterek,
• az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ euklideszi tér vektortérben az origón átmenő egyenesek és síkok alterek,
• a háromdimenziós ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$-ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík,
• bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
• tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
• a polinomok vektorterében a legfeljebb ${\displaystyle k}$-adfokú polinomok vektorteret alkotnak bármely rögzített ${\displaystyle k\geq 0}$ természetes számra,
• a négyzetes mátrixok vektorterében a szimmetrikus és az antiszimmetrikus mátrixok alterek,
• az egy adott intervallumon értelmezett valós értékű függvények vektorterében az integrálható függvények, a folytonos függvények és a differenciálható függvények alterek,
• két, ugyanazon test fölötti vektortér közötti leképezések vektorterében a lineáris leképezések alteret alkotnak.

Generált altér

Az a₁, …, a_n ∈ V vektorok által generált altéren az a_i vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a₁, …, a_n〉-nel jelöljük,

${\displaystyle \langle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle =\{\lambda _{1}\mathbf {a} _{1}+...+\lambda _{n}\mathbf {a} _{n}\,|\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbf {F} \}.}$

Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük. Néha ezt a halmazt lineáris buroknak is nevezik.
Igazolható a következő állítás is

Tétel

U =〈a₁, …, a_n〉az a_i vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz

1. ${\displaystyle U\leq V}$
2. ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\in U,\,\,i=1,\ldots ,n}$
3. ${\displaystyle \mathrm {ha} \,\ W\leq V\ \wedge \ \mathbf {a} _{i}\in W,\ i=1,\ldots ,n\ \Rightarrow \ U\subseteq W}$

Megfordítva, minden altérhez található generátorrendszer, vagyis egy ${\displaystyle X}$ halmaz, ami generálja az alteret. Egy minimális generátorrendszer lineárisan független elemekből áll, és bázisnak nevezik. Egy bázis számossága megadja a vektortér dimenzióját.

Műveletek alterekkel

Metszet és unió

Legyenek ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ alterek ugyanabban a ${\displaystyle V}$ vektortérben! Ekkor az

${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\{v\in V\mid v\in U_{1}{\text{ és }}v\in U_{2}\}}$

halmaz szintén altér a ${\displaystyle V}$ vektortérben. Ellenben a két vektortér uniója:

${\displaystyle U_{1}\cup U_{2}=\{v\in V\mid v\in U_{1}{\text{ vagy }}v\in U_{2}\}}$

akkor és csak akkor altér, ha ${\displaystyle U_{1}\subseteq U_{2}}$ vagy ${\displaystyle U_{2}\subseteq U_{1}}$. Különben bár egy skalárral szorzásra zárt halmazt kapunk, melyből kivezet a vektorok összeadása.

Két altér által generált altér

Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a

${\displaystyle \langle W,Z\rangle =\{\mathbf {w} +\mathbf {z} \,|\,\mathbf {w} \in W,\,\mathbf {z} \in Z\}}$

alteret nevezzük. Ez ugyanaz az altér, amit a két vektortér, mint halmaz uniója generál. Ha a W és Z alterek dimenziója véges, akkor a generált altér dimenziója kiszámítható a dimenziótétellel:

${\displaystyle \dim \left(W+Z\right)=\dim W+\dim Z-\dim \left(W\cap Z\right)}$,

amiből visszafelé olvasva a metszet altér dimenziója is kiszámítható. Véges dimenziós vektorterek metszet- és összegbázisa kiszámítható a Zassenhaus-algoritmussal.

Ha W ∩ Z = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z (belső) direkt összegének nevezzük, és a következőképpen

${\displaystyle W\oplus Z}$

jelöljük. (A belső direkt összeg izomorf a külső direkt összeggel.)

A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, w ∈ W, z ∈ Z, akkor és csak akkor egyértelmű, ha W ∩ Z = 0, ugyanis
Ha W ∩ Z = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {w} _{1}+\mathbf {z} _{1}=\mathbf {w} _{2}+\mathbf {z} _{2}}$

egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w₁ – w₂ = z₁ – z₂. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w₁=w₂, z₁=z₂.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x ≠ 0 ∈ W ∩ Z-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát W ∩ Z = 0.

Mivel W ∩ Z = 0, azért a dimenziótétel a következő alakra egyszerűsödik:

${\displaystyle \dim \left(W\oplus Z\right)=\dim W+\dim Z}$,

ami a végtelen dimenziós esetekre is igaz.

Több operandus

A fenti műveletek általánosíthatók több operandusra. Legyen ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ a ${\displaystyle V}$ vektortér altereinek egy családja, ahol ${\displaystyle I}$ tetszőleges indexhalmaz! Ekkor

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}U_{i}=\left\{v\in V\mid v\in U_{i}{\text{ minden }}i\in I\right\}}$

szintén altér a ${\displaystyle V}$ vektortérben. Több altér összege

${\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}=\left\{\sum _{i\in I}u_{i}\mid u_{i}\in U_{i},{\text{ majdnem minden }}u_{i}=0\right\}}$

ahol csak véges sok tag különbözhet a csak nullvektorból álló altértől. Ha minden egyes ${\displaystyle U_{i}}$ altér metszete a többi altér összegével a nullvektorból álló vektortér, akkor az összeg direkt, jelölése

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}U_{i}}$

Ez ekvivalens azzal, hogy az összeg vektortér minden vektora egyértelműen előáll az egyes tag vektorterek elemeinek összegeként.

Származtatott terek

Kiegészítő altér

Legyen ${\displaystyle V}$ vektortér! Ekkor minden ${\displaystyle U}$ alteréhez van ${\displaystyle W\subseteq V}$ altér, amelyre igaz, hogy

${\displaystyle V=U\oplus W.}$

Ekkor ${\displaystyle W}$ az ${\displaystyle U}$ komplementer tere. Minden komplementer térhez tartozik egy ${\displaystyle P}$ vetítés az ${\displaystyle U}$ altérre, azaz egy ${\displaystyle P\colon V\to V}$ idempotens lineáris leképezés, melyre teljesül, hogy

${\displaystyle V=P(V)\oplus (\operatorname {Id} -P)(V)}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ az identitás. Általában egy altérhez több komplementer tér is tartozik, melyek közül a vektortér struktúra egyet sem tüntet ki. Ha a térben van skalárszorzat, akkor vannak ortogonális alterek. Ha ${\displaystyle V}$ véges dimenziós, akkor minden ${\displaystyle U}$ alteréhez van egy ${\displaystyle U^{\perp }}$ ortogonális komplementer tere, és megfelel annak, hogy

${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$.

Ez az ${\displaystyle U^{\perp }}$ altér az ${\displaystyle U}$ altér ortogonális komplementere.

Faktortér

Ha ${\displaystyle V}$ vektortér, akkor minden ${\displaystyle U}$ alteréhez hozzárendelhető egy ${\displaystyle V/U}$ faktortér. A faktortér úgy keletkezik, hogy a vektortér elemeit párhuzamosan levetítjük az altér mentén. Formálisan, a faktorteret az

${\displaystyle V/U=\{\,[v]\mid v\in V\}}$

a ${\displaystyle v\in V}$ ekvivalenciaosztályainak halmaza. Egy ${\displaystyle v\in V}$ vektor a

${\displaystyle [v]=v+U=\{v+u\mid u\in U\}}$ mellékosztály.

A mellékosztályok tehát az ${\displaystyle U}$ altér párhuzamos eltoltjai, és ezek alkotják a faktorteret, ami azonban izomorf az ${\displaystyle U}$ altér menti vetítéssel kapott altérrel. A mellékosztályokon reprezentánsok segítségével végezhetők műveletek, habár a faktortér nem altere a ${\displaystyle V}$ vektortérnek. A faktortér dimenziója a

${\displaystyle \dim V=\dim U+\dim V/U}$ képlettel számítható.

A ${\displaystyle V/U}$ faktortér alterei pontosan a ${\displaystyle W/U}$ faktorterek, ahol ${\displaystyle W}$ aletere ${\displaystyle V}$-nek úgy, hogy ${\displaystyle U\subseteq W\subseteq V}$.

Duális tér, annihilátor

Legyen ${\displaystyle V}$ vektortér a ${\displaystyle K}$ test fölött! Ekkor ${\displaystyle V}$ duális terét a ${\displaystyle V}$-ből ${\displaystyle K}$-ba menő lineáris leképezések alkotják. Ha ${\displaystyle X}$ részhalmaza ${\displaystyle V}$-nek, akkor annihilátorát azok a fukcionálok alkotják, melyek eltűnnek az ${\displaystyle X}$ halmazon. Ez egy altér a duális térben. Vagyis,

${\displaystyle X^{0}=\lbrace f\in V^{\ast }\mid f(x)=0{\mbox{ minden }}x\in X\rbrace }$.

Ha ${\displaystyle V}$ véges dimenziós, akkor ${\displaystyle V}$ egy ${\displaystyle U}$ alterének annihilátor terének dimenziója számítható a

${\displaystyle \dim V=\dim U+\dim U^{0}}$ képlet alapján.

Tehát egy ${\displaystyle U}$ altér ${\displaystyle U^{\ast }}$ duális tere izomorf a ${\displaystyle V^{\ast }/U^{0}}$ faktortérrel.

A lineáris algebrában

Lineáris leképezések

Ha ${\displaystyle T\colon V\to W}$ egy lineáris leképezés az azonos test fölötti ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ vektorterek között, akkor a leképezés magja

${\displaystyle \operatorname {ker} T=T^{-1}(\{0\})=\{v\in V\mid T(v)=0\}}$

altér ${\displaystyle V}$-ben, a leképezés képtere

${\displaystyle \operatorname {im} T=T(V)=\{T(v)\mid v\in V\}}$

pedig altér ${\displaystyle W}$-ben. Továbbá, egy lineáris leképezés grafikonja altér a ${\displaystyle V\times W}$ direkt szorzat vektortérben. Ha a ${\displaystyle V}$ altér véges dimenziós, akkor a szóban forgó terekre teljesül a rangtétel:

${\displaystyle \dim V=\dim(\operatorname {im} T)+\dim(\operatorname {ker} T)}$.

A kép dimenzióját rangnak, a mag dimenzióját pedig defektusnak nevezzük. A homomorfiatétel szerint a kép izomorf a ${\displaystyle V/\operatorname {ker} T}$ faktortérrel.

Lineáris egyenletek

Ha ${\displaystyle T\colon V\to W}$ lineáris leképezés az azonos test fölötti ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ vektorterek között, akkor a

${\displaystyle T(v)=0}$

lineáris egyenletrendszer altér ${\displaystyle V}$-ben, és éppen ${\displaystyle T}$ magja. Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer,

${\displaystyle T(v)=b}$, ahol ${\displaystyle b\neq 0}$

megoldása affin-lineáris altere ${\displaystyle V}$-nek, ami a szuperpozíciós tulajdonság következménye. A megoldástér dimenziója megegyezik ${\displaystyle T}$ magjának dimenziójával.

Sajátértékprobléma

Ha ${\displaystyle T\colon V\to V}$ egy lineáris teret önmagába képező lineáris leképezés, tehát endomorfizmus, akkor a hozzá tartozó sajátértékprobléma

${\displaystyle T(v)=\lambda \cdot v}$,

ekkor a ${\displaystyle \lambda }$ sajátértékhez tartozó sajátaltér

${\displaystyle \operatorname {Eig} (\lambda )=\left\{v\in V\mid T(v)=\lambda \cdot v\right\}}$

altere ${\displaystyle V}$-nek, melynek nullvektortól különböző elemei a ${\displaystyle \lambda }$ sajátértékhez tartozó sajátvektorok. A sajátaltér dimenziója a sajátérték geometriai multiplicitása, ami nem feltétlenül egyezik az algebrai multiplicitással, de annál sosem nagyobb.

Invariáns alterek

Ha ${\displaystyle T\colon V\to V}$ endomerfizmus, akkor ${\displaystyle V}$ egy ${\displaystyle U}$ altere ${\displaystyle T}$-invariáns, ha

${\displaystyle T(U)\subseteq U}$

vagyis ${\displaystyle u\in U}$ esetén a ${\displaystyle T(u)}$ képvektor szintén ${\displaystyle U}$-beli. Az ${\displaystyle U}$ altér ${\displaystyle T}$ szerinti képe altér ${\displaystyle U}$-ban. A ${\displaystyle \{0\}}$ és ${\displaystyle V}$ triviális alterek, ${\displaystyle \operatorname {ker} T}$, ${\displaystyle \operatorname {im} T}$ és ${\displaystyle T}$ minden sajáttere invariáns ${\displaystyle T}$-re. További fontos példák invariáns alterekre a főterek, melyek a Jordan-normálak meghatározására használatosak.

A funkcionálanalízisben

Hilbert-terekben

Hilbert-terekben, azaz teljes skalárszorzatos terekben többnyire alhilbertterekkel foglalkoznak, melyek amellett, hogy mint vektorterek alterek, még a skalárszorzatra is teljesek. Ez egyet jelent azzal, hogy az altér zárt a normából származó topológiára, melyet a skalárszorzat indukál. Egy Hilbert-tér nem minden altere teljes is, azonban lezárással mindig teljes teret kapunk, amiben azz altér sűrű. A vetítési tétel szerint létezik minden alhilberttérhez egy egyértelmű ortogonális komplementer, ami még zárt is.

Az alhilbertterek fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában, illetve jelek Fourier-, és multiskála-analízisben.

Banach-terek

Banach-terekben, azaz teljes normált terekben tekinthetők az albanachterek, melyek zártak a norma leszűkítésére. Az albanachterek szintén zártak. A Banach-terek minden alteréhez van egy teljes lezárt, melyben az altér sűrű. Szemben a Hilbert-terekkel, az albanachterekhez nincs mindig komplementer albanachtér.

Teljes félnormált terekben a nulla félnormájú vektorok alvektorteret alkotnak. A félnormával ellátott térből faktortér képzésével normált tér kapható, ha azonosnak tekintjük azokat a vektorokat, melyek félnormája megegyezik. Ha a félnormával ellátott tér teljes, akkor ez a faktortér Banach-tér.

A parciális differenciálegyenlet-rendszerek végeselem-módszerrel végzett numerikus megoldása során a megoldást a Szoboljev-tér alkalmas véges dimenziós albanachtereiben közelítik.

Topologikus duális terek

A funkcionálanalízisben az algebrai duális tér mellett foglalkoznak még egy ${\displaystyle V}$ vektortér ${\displaystyle V'}$ topologikus duális terével is, ami azokból a lineáris leképezésekből áll, melyek a ${\displaystyle V}$ vektorteret alaptestébe képezik. Topologikus vektoterek esetén a topologikus duális tér az algebrai duális tér altere. A Hahn-Banach-tétel szerint egy valós vagy komplex vektortér egy alterén értelmezett, szublineáris függvénnyel korlátozható lineáris funkcionál lineárisan kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy ez a szublineáris függvény továbbra is korlát marad. Ennek következtében egy normált tér duális topologikus tere elegendő funkcionállal bír ahhoz, hogy megalapozhasson egy gazdag dualitáselméletet.

További alkalmazások

Az alterek további fontos alkalmazásai:

• A Gram-Schmidt-ortogonalizáció ortogonális bázisok létrehozásához
• A Krylow-altéreljárás nagy ritka lineáris egyenletrendszerek megoldására
• Optimalizációs problémák megoldása
• A kódoláselméletben lineáris kódok
• Projektív terek ábrázolása a projektív geometriában

Lásd még

• Dimenzió (lineáris algebra)
• Hamel-bázis
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Vektortér

Források

• Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Springer (2006) 
• Gilbert Strang. Lineare Algebra. Springer (2003) 
• Sablon:EoM
• Vector subspace a PlanetMath.org oldalon.
• Weisstein, Eric W.: Subspace (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Untervektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.