Minkowski-dimenzió

A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra, de annál könnyebben kezelhető módszert ad.

Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rn-beli halmazokra szorítkozunk.

Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.

Definíciója

Legyen S ∈ R n {\displaystyle S\in \mathbf {R} ^{n}} halmaz és r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbf {R} } . Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és S ∈ F {\displaystyle S\in F} . Legyen e kockák száma Nr. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen Nr is változik, azaz értelmezhető az Nr(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

dim ⁡ ( S ) = lim r → 0 log ⁡ N r ( S ) log ⁡ 1 r {\displaystyle \dim(S)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log N_{r}(S)}{\log {\frac {1}{r}}}}}

A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik.

Ha a határérték nem létezik, akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz, ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója.

Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rn-beli gömböket is használni. Ennek a hátránya, hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t, viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra. Az értelmezés ugyanaz marad, csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni, hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát.

Tulajdonságai

  • Bármely halmaz Minkowski-dimenziója nem kisebb a Hausdorff-dimenziójánál:
dim H ⁡ ( S ) ≤ dim M ⁡ ( S ) {\displaystyle \dim _{H}(S)\leq \dim _{M}(S)}
  • A „klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad, azaz egy négyzet dimenziója kettő, a körvonalé 1, stb. Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál, hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető, az elvárthoz közeli értéket ad.
  • Egyenértékű azzal, hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával:
N r ( S ) = C ( 1 r ) dim ⁡ S {\displaystyle N_{r}(S)=C\left({\frac {1}{r}}\right)^{\dim S}}

Kiszámítása

Példaszámítás

A könnyű áttekinthetőség miatt legtöbbször síkidomokra szokás vonatkoztatni a Minkowski-dimenziót, így itt is ilyen példák szerepelnek főleg. Két példát mutatunk azonban testekre is.

Szakasz Minkowski-dimenziója

Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt. Ezt le tudjuk fedni r = a n {\displaystyle r={\frac {a}{n}}} oldalhosszúságú négyzetekkel, ahol n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbf {N} } , méghozzá n darabbal. Így a lefedő négyzetek száma

N r = a r {\displaystyle N_{r}={\frac {a}{r}}} ,

amit a definícióba írva kapjuk, hogy

dim ⁡ ( S ) = lim r → 0 log ⁡ N r log ⁡ 1 r = lim r → 0 log ⁡ a + log ⁡ 1 r log ⁡ 1 r = lim r → 0 ( log ⁡ a log ⁡ 1 r + log ⁡ 1 r log ⁡ 1 r ) {\displaystyle \dim(S)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log N_{r}}{\log {\frac {1}{r}}}}=\lim _{r\to 0}{\frac {\log a+\log {\frac {1}{r}}}{\log {\frac {1}{r}}}}=\lim _{r\to 0}\left({\frac {\log a}{\log {\frac {1}{r}}}}+{\frac {\log {\frac {1}{r}}}{\log {\frac {1}{r}}}}\right)} .

A határérték alatti összeg első tagjának értéke 0,[1] a kifejezés második tagja pedig triviálisan 1, így

dim ⁡ ( S ) = 1 {\displaystyle \dim(S)=1} , amit el is vártunk.

Körvonal Minkowski-dimenziója

A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk, ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos. Lényegében nem az N r ( S ) {\displaystyle N_{r}(S)} sorozatot határozzuk meg, hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét, majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra. Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot, és így a határérték megállapítható. Ez a helyzet jelen esetben is.

Ha a kört egy négyzettel lefedjük, majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel, akkor könnyen leszámolhatjuk, hogy a körvonal hány négyzetet metsz.[2] Így a következő sorozatot kapjuk:

Osztópontok száma
( n {\displaystyle n} )		 Lefedett négyzetek
( N n ( S ) {\displaystyle N_{n}(S)} )
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20

Láthatóan a sorozat az N n ( S ) = 4 n {\displaystyle N_{n}(S)=4n} alakot ölti. Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható:

dim ⁡ S = lim n → ∞ log ⁡ N ( n ) log ⁡ n = lim n → ∞ log n ⁡ 4 n = lim n → ∞ ( log n ⁡ 4 + log n ⁡ n ) = 0 + 1 = 1 {\displaystyle \dim S=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log N(n)}{\log n}}=\lim _{n\to \infty }\log _{n}4n=\lim _{n\to \infty }\left(\log _{n}4+\log _{n}n\right)=0+1=1} ,

ahogy az elvárásunk is volt.

Sierpiński-szőnyeg dimenziója

Sierpiński-szőnyeg

A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására. A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből:

  1. A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál
  2. A középső négyzetet vágd ki
  3. Ismételd a megmaradó négyzetekkel

Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető, a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad. A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után 3 − n {\displaystyle 3^{-n}} , a lefedő négyzetek száma pedig 8 n {\displaystyle 8^{n}} . Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk:

dim ⁡ S = lim n → ∞ log ⁡ 8 n log ⁡ 1 3 − n = lim n → ∞ n log ⁡ 8 n log ⁡ 3 = lim n → ∞ log ⁡ 8 log ⁡ 3 = log 3 ⁡ 8 ≈ 1 , 89278926071437231130 {\displaystyle \dim S=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log 8^{n}}{\log {\frac {1}{3^{-n}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n\log 8}{n\log 3}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log 8}{\log 3}}=\log _{3}8\approx 1,89278926071437231130} [3]

Henger dimenziója

Fedjük le a hengert egy négyzetes oszloppal. Ha ennek alapéleit s részre osztjuk, akkor az alaplapot s2 kocka fedi le. A henger alapját ekkor ⌈ π s 2 4 ⌉ {\displaystyle \left\lceil \pi {\frac {s^{2}}{4}}\right\rceil } kocka fedi le. A hengert több réteg kockával tudjuk lefedni, a rétegek számát a henger sugarának és magasságának aránya adja meg: h r s {\displaystyle {\frac {h}{r}}s} . A hengert tartalmazó kockák száma tehát

N ( s ) = h r s π s 2 4 = s 3 h π 4 r {\displaystyle N(s)={\frac {h}{r}}s\pi {\frac {s^{2}}{4}}=s^{3}{\frac {h\pi }{4r}}} .

A Minkowski-dimenzió a kifejezés s alapú logaritmusának határértéke, ha s → ∞ {\displaystyle s\to \infty } .

dim ⁡ H = lim s → ∞ log s ⁡ ( s 3 h π 4 r ) = = lim s → ∞ ( log s ⁡ s 3 + log s ⁡ h π 4 r ) = = lim s → ∞ ( 3 + 0 ) = 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\text{dim}} H&=\lim _{s\to \infty }\log _{s}\left(s^{3}{\frac {h\pi }{4r}}\right)=\\&=\lim _{s\to \infty }\left(\log _{s}s^{3}+\log _{s}{\frac {h\pi }{4r}}\right)=\\&=\lim _{s\to \infty }(3+0)=3.\end{aligned}}}

Véletlen fraktálok

A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét, ezért az egyetlen módszer az marad, hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N(n) függvényt, és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra. Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy ( dim ⁡ S ) n {\displaystyle (\dim S)_{n}} közelítő sorozatot, aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója:

dim ⁡ S = lim n → ∞ ( ( dim ⁡ S ) n ) = lim n → ∞ log ⁡ N ( n ) log ⁡ n {\displaystyle \dim S=\lim _{n\to \infty }\left((\dim S)_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log N(n)}{\log n}}} ,

ami éppen a definíciós képlet, mivel n a tégla élhosszának reciproka. Példaként nézzük Nagy-Britannia dimenzióját!

Nagy-Britannia térképének felosztása dobozokra
Nagy-Britannia térképének felosztása dobozokra

Az ábrát megvizsgálva azt látjuk, hogy 28 téglából 23 fedi a szigetet, egyet pedig a sziget fed. Felezve a téglákat 112 téglából 69 fedi, 16-ot pedig fed a térkép. Egy újabb felezés után 448 téglából 227 fed és 96 fedett. A számítás ez alapján:

Közelítő Minkowski-dimenzió
n N logN / logn N' logN' / logn
28 23 0,940 966 920 4 1 0
112 69 0,897 341 849 6 16 0,587 599 742 6
448 227 0,888 637 798 4 96 0,747 666 303 8

Ez alapján a dimenzió kb. 0,818 152 051 1.[4]

Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható.

Jegyzetek

  1. ↑ Ez három egyszerű állítás következménye:
    • log ⁡ b log ⁡ a = log a ⁡ b {\displaystyle {\frac {\log b}{\log a}}=\log _{a}b}
    • r → 0 {\displaystyle r\to 0} esetén r − 1 → ∞ {\displaystyle r^{-1}\to \infty }
    • lim a → ∞ log a ⁡ c = 0 {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\log _{a}c=0}
  2. ↑ Az világos, hogy ekkor a négyzetek oldalhossza: r = 1 n {\displaystyle r={\frac {1}{n}}} , amit átrendezve már behelyettesíthetünk a definíciós kifejezésbe.
  3. ↑ Megjegyzendő, hogy a szőnyeg Hausdorff-dimenziója is pontosan ugyanennyi.
  4. ↑ Az alsó és a felső érték számtani közepe

Források

  • I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTeX kiadó, 2000) ISBN 963-9132-59-4
  • Gerőcs L., Vancsó Ö. et al.: Matematika (Akadémiai kiadó, 2010) ISBN 978 963 05 8488 3 ISSN 1787-4750
  • Bernt Wahl: Fractal Explorer
  • Scott Sutherland: Fractal Dimension

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Box-counting dimension című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.