Parabolikus koordináta-rendszer

A parabolikus koordináta-rendszer koordinátavonalai

A parabolikus koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, melynek koordinátavonalai közös fókuszú parabolák. Háromdimenziós általánosításai a parabolikus hengerkoordináta-rendszer és a paraboloid koordináta-rendszer.

A parabolikus koordináta-rendszernek több alkalmazása is van, például a Stark-hatás kezelése és az élek potenciálelmélete.

Definíció

A ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} parabolikus koordinátákról a következőképpen lehet Descartes-koordinátákra áttérni:

x = σ τ {\displaystyle x=\sigma \tau }
y = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}

A konstans σ {\displaystyle \sigma } -hoz tartozó koordinátavonalak felfelé nyitott parabolák:

2 y = x 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}

és a konstans τ {\displaystyle \tau } -hoz tartozó koordinátavonalak szintén parabolák, de ezek lefelé nyitottak:

2 y = − x 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}

Az összes koordinátavonal gyújtópontja az origóban van.

Skálázási tényezők

A ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} koordináták skálázási tényezői:

h σ = h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}

így az infinitezimális területelem:

d A = ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ {\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }

és a Laplace-operátor:

∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}

A további differenciáloperátorok, mint ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } és ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } kifejezhetők a ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Források

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 660. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 185–186. o. (1956) 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 180. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 96. o. (1967) 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 34–36 (Table 1.08). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 
  • Sablon:Springer
  • MathWorld description of parabolic coordinates

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.