Rayleigh-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\quad x\geq 0,}$

ahol ${\displaystyle \sigma >0,}$ és a kumulatív eloszlás függvény:

${\displaystyle F(x)=1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$

ahol ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

Tulajdonságok

A nyers momentum:

${\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$

ahol ${\displaystyle \Gamma (z)}$ a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\sigma ,}$

és

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0.429\sigma ^{2}.}$

${\displaystyle f_{\text{max}}=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}}$

A ferdeség:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631.}$

A többlet lapultság:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245.}$

A karakterisztikus függvény:

${\displaystyle \varphi (t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$ a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right),}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$ a hibafüggvény.

Információ entrópia

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény: ${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

ahol ${\displaystyle \gamma }$ az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslés

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a ${\displaystyle \sigma }$ maximális valószínűsége:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}\approx \!\,{\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}.}$

A ${\displaystyle \sigma }$ értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.^[1][2]

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-U)}}\,}$

Rayleigh-eloszlású lesz ${\displaystyle \sigma }$ paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln(U)}}.}$

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ Rayleigh-eloszlású, akkor ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, ahol ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$, és ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a ${\displaystyle \sigma }$ szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
• Ha ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$, akkor ${\displaystyle R^{2}}$ khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal: ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$
• Ha X exponenciális eloszlású , akkor ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$, then ${\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$.
• Ha ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$, akkor ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ gamma-eloszlású, ${\displaystyle N}$ and ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$: ${\displaystyle [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})}$ paraméterekkel.
• A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
• A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
• A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}}$.

• A Maxwell–Boltzmann-eloszlás írja le a normál vektor nagyságrendjét három dimenzióban.

Kapcsolódó szócikkek

• Rayleigh-fading
• Maxwell–Boltzmann statisztika
• Boltzmann-eloszlás
• Maxwell sebesség eloszlás
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Szórás
• Nakagami-eloszlás
• Norma
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Entrópia

Források