Dalam analisis numerik, polinomial Newton adalah interpolasi polinomial untuk suatu himpunan titik data yang diketahui. Polinomial ini dinamai dari penemunya, Isaac Newton.[1] Terkadang, polinomial ini disebut interpolasi polinomial beda terbagi Newton karena koefisien dari polinomialnya dihitung menggunakan metode beda terbagi Newton.
Diberikan suatu himpunan
titik data
![{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{i},y_{i}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69b86d69a36b8bdecc37aa9921425481a57e1f2)
dengan syarat
apabila
, maka interpolasi polinomial Newton merupakan suatu kombinasi linear dari polinomial basis Newton. Secara matematis, hal tersebut dapat dituliskan sebagai
![{\displaystyle N(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\,n_{i}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393e3793befd116b3750205255a6ed9a6b2bc119)
dengan polinomial basis Newton didefinisikan sebagai
![{\displaystyle n_{i}(x):=\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d724b5b73c6e0a7507ee40603605a46f15cad5)
untuk
dan
. Koefisien dari polinomial tersebut didefinisikan sebagai
dengan
adalah notasi untuk beda terbagi. Dengan demikian, interpolasi polinomial Newton dapat ditulis sebagai
Rumus interpolasi Newton-Gregory maju
Bentuk dari Polinomial Newton dapat disederhanakan apabila
diatur sehingga berjarak sama. Jika didefinisikan
![{\displaystyle h:=x_{i+1}-x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4b4052bef402d63f6241d82ed2bd9bbd74161a)
, untuk suatu bilangan riil ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
![{\displaystyle \Delta ^{0}y_{i}:=y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5b06b358abec41153f589ab8eb13cbafdc4bf8)
![{\displaystyle \Delta ^{j+1}y_{i}:=\left(\Delta ^{j}y_{i+1}\right)-\left(\Delta ^{j}y_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a95603a13089f5bbfad6260424ce9e097032997)
dengan
, perhatikan bahwa
![{\displaystyle {\begin{aligned}x-x_{1}&=x-x_{0}-x_{1}+x_{0}\\&=x-x_{0}-\left(x_{1}-x_{0}\right)\\&=sh-h\\&=h(s-1)\\\\x-x_{2}&=x-x_{0}-x_{2}+x_{1}-x_{1}+x_{0}\\&=x-x_{0}-\left(x_{2}-x_{1}\right)-\left(x_{1}-x_{0}\right)\\&=sh-h-h\\&=h(s-2)\\&\ldots \\x-x_{i}&=h(s-i)\\---------&---------------------\\\left[y_{0}\right]&:=y_{0}\\\left[y_{0},\,y_{1}\right]&={\dfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\dfrac {\Delta y_{0}}{h}}\\\\\left[y_{0},\,y_{1},\,y_{2}\right]&={\dfrac {{\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\dfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}\\&={\dfrac {{\dfrac {\Delta y_{1}}{h}}-{\dfrac {\Delta y_{0}}{h}}}{2h}}\\&={\dfrac {\Delta ^{2}y_{0}}{2!\,h^{2}}}\\\\\left[y_{0},\,y_{1},\,y_{2},y_{3}\right]&={\dfrac {{\dfrac {{\dfrac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}-{\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}-x_{1}}}-{\dfrac {{\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\dfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}}{x_{3}-x_{0}}}\\&={\dfrac {{\dfrac {{\dfrac {\Delta y_{2}}{h}}-{\dfrac {\Delta y_{1}}{h}}}{2h}}-{\dfrac {{\dfrac {\Delta y_{1}}{h}}-{\dfrac {\Delta y_{0}}{h}}}{2h}}}{3h}}\\&={\dfrac {{\dfrac {\Delta ^{2}y_{1}}{2\,h^{2}}}-{\dfrac {\Delta ^{2}y_{0}}{2\,h^{2}}}}{3h}}\\&={\dfrac {\Delta ^{3}y_{0}}{3!\,h^{3}}}\\&\ldots \\\left[y_{0},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{k}\right]&={\dfrac {\Delta ^{k}y_{0}}{k!\,h^{k}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b078b396cc00d78710716d5c9ac70fcdb8e158)
Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi
![{\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+[y_{0},y_{1},y_{2}](x-x_{0})(x-x_{1})+\ldots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})\\&=y_{0}+{\dfrac {\Delta y_{0}}{h}}(sh)+{\dfrac {\Delta ^{2}y_{0}}{2!\,h^{2}}}(sh)(h(s-1))+\ldots +{\dfrac {\Delta ^{k}}{k!\,h^{k}}}(sh)(h(s-1))\ldots (h(s-k+1))\\&=y_{0}+s\left(\Delta y_{0}\right)+{\dfrac {s(s-1)}{2!}}\left(\Delta ^{2}y_{0}\right)+\ldots +{\dfrac {s(s-1)\ldots (s-k+1)}{k!}}\left(\Delta ^{k}y_{0}\right)\\&={\dbinom {s}{0}}\left(\Delta ^{0}y_{0}\right)+{\dbinom {s}{1}}\left(\Delta ^{1}y_{0}\right)+{\dbinom {s}{2}}\left(\Delta ^{2}y_{0}\right)+\ldots +{\dbinom {s}{k}}\left(\Delta ^{k}y_{0}\right)\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\left(\Delta ^{i}y_{0}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277acc8e669eeae562b4c42585d3609f57bbeb35)
Rumus ini disebut sebagai rumus beda terbagi Newton maju.[butuh rujukan]
Rumus interpolasi Newton-Gregory mundur
Jika titik data yang ada diubah urutannya menjadi
, bentuk polinomial Newtonnya menjadi
![{\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[y_{k},y_{k-1}](x-x_{k})+\ldots +[y_{k},\ldots ,y_{0}](x-x_{k})(x-x_{k-1})\ldots (x-x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56c136d69edcba63d13e1be7e8c5c92a1447d4c)
Dengan asumsi serupa, jika
berjarak sama, serta didefinisikan
![{\displaystyle h:=x_{i+1}-x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4b4052bef402d63f6241d82ed2bd9bbd74161a)
, untuk suatu bilangan riil ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
![{\displaystyle \Delta ^{0}y_{i}:=y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5b06b358abec41153f589ab8eb13cbafdc4bf8)
![{\displaystyle \Delta ^{j+1}y_{i}:=\left(\Delta ^{j}y_{i+1}\right)-\left(\Delta ^{j}y_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a95603a13089f5bbfad6260424ce9e097032997)
dengan
, maka diperoleh
![{\displaystyle {\begin{aligned}x-x_{k-1}&=\left(x-x_{k}\right)+\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\\&=sh+h\\&=h(s+1)\\\\x-x_{k-2}&=\left(x-x_{k}\right)+\left(x_{k}-x_{k-1}\right)+\left(x_{k-1}-x_{k-2}\right)\\&=sh+h+h\\&=h(s+2)\\\ldots \\x-x_{k-j}&=h(s+j)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5d1af899b247aaae790ad104b9c0b5915b70db)
Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi
![{\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{k}]+[y_{k},y_{k-1}](x-x_{k})+[y_{k},y_{k-1},y_{k-2}](x-x_{k})(x-x_{k-1})+\ldots +[y_{k},\ldots ,y_{0}](x-x_{k})(x-x_{k-1})\ldots (x-x_{1})\\&=y_{k}+{\dfrac {\Delta y_{k-1}}{h}}(sh)+{\dfrac {\Delta ^{2}y_{k-2}}{2!\,h^{2}}}(sh)(h(s+1))+\ldots +{\dfrac {\Delta ^{k}y_{0}}{k!\,h^{k}}}(sh)(h(s+1))\ldots (h(s+k-1))\\&=y_{k}+s\left(\Delta y_{k-1}\right)+{\dfrac {s(s+1)}{2!}}\left(\Delta ^{2}y_{k-2}\right)+\ldots +{\dfrac {s(s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)}{k!}}\left(\Delta ^{k}y_{0}\right)\\&={\dbinom {s-1}{0}}\left(\Delta ^{0}y_{k}\right)+{\dbinom {s}{1}}\left(\Delta y_{k-1}\right)+{\dbinom {s+1}{2}}\left(\Delta ^{2}y_{k-2}\right)+\ldots +{\dbinom {s+k-1}{k}}\left(\Delta ^{k}y_{0}\right)\\&=\sum _{j=0}^{k}{s+j-1 \choose j}\left(\Delta ^{j}y_{k-j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968a69c68be820a49036c6b91797488d703cd6b5)
Rumus ini disebut sebagai rumus beda terbagi Newton mundur[butuh rujukan]
Bentuk Newton dan polinomial Taylor
Rumus Newton sangat menarik karena rumus Newton terlihat seperti versi beda hingga dari polinomial Taylor. Polinomial Taylor memberitahu nilai suatu fungsi berdasarkan nilai
beserta turunan-turunannya (turunan pertama, turunan kedua, dst.) dari suatu titik
tertentu. Rumus Newton adalah polinomial Taylor yang didasarkan pada beda hingga, dan bukan laju perubahan sesaat.
Limit dari polinomial Newton jika semua titik berhimpit menuju
adalah polinomial Taylor di sekitar
, lantaran nilai dari koefisien beda terbagi akan menjadi turunan. Hal ini akan lebih mudah terlihat menggunakan rumus Newton-Gregory maju
Ide utama
Penyelesaian masalah interpolasi akan mengarah ke permasalahan dalam aljabar linear mengenai penyelesaian sistem persamaan linear. Dengan menggunakan basis monomial, maka akan diperoleh matriks Vandermonde yang sangat rumit. Dengan memilih basis lain, basis Newton, maka akan diperoleh sistem persamaan linear dengan matriks segitiga bawah, yang lebih sederhana dan dapat diselesaikan dengan lebih cepat.
Jika diberikan
titik data, maka dikonstruksikan basis Newton sebagai
![{\displaystyle n_{0}(x):=1\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,2,\,\ldots ,\,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160b414e376803f939cc04f4c27a8657c44a03c4)
Dengan menggunakan polinomial ini sebagai basis yang baru, maka penyelesaian dari
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e966b191f05cf68145e92057b007a05748405957)
akan menjawab masalah interpolasi polinomial di awal.
Sistem persamaan ini dapat diselesaikan secara iteratif dengan menyelesaikan
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}\,n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,1,\,\dots ,\,k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a227f33308f7f6eafdc27a5b1778a24005912c)
Penambahan titik baru
Sama seperti rumus selisih lainnya, derajat dari interpolasi polinomial Newton dapat dinaikkan dengan menambahkan suku dan titik baru tanpa membuang suku yang sudah ada. Bentuk Newton memiliki kesederhanaan karena titik baru akan selalu ditambahkan di ujung: titik baru pada rumus Newton-Gregory maju dapat ditambahkan di kanan, sedangkan titik baru pada rumus Newton-Gregory mundur dapat ditambahkan di kiri.
Keunggulan dan kelemahan berbagai rumus
Untuk setiap himpunan titik data yang berhingga, hanya terdapat satu polinomial dengan derajat terendah yang melewati semua titik yang diberikan. Maka dari itu, kata "interpolasi polinomial Bentuk Newton" (atau bentuk Lagrange, dll.) tidak akan memiliki makna yang ambigu. Meskipun demikian, pencarian polinomial ini bisa saja memiliki efisiensi komputasi yang berbeda apabila digunakan metode yang berbeda.
Bessel versus Stirling
Newton versus Lagrange
Dibandingkan interpolasi polinomial bentuk Newton, bentuk Lagrange memerlukan usaha yang lebih sedikit, dan terkadang direkomendasikan untuk masalah yang sudah diketahui (dari pengalaman sebelumnya) berapa banyak suku yang diperlukan agar tingkat akurasinya cukup.
Jika ditambahkan titik data yang baru, metode beda terbagi mempunyai keunggulan karena suku yang diperoleh dari data sebelumnya dapat digunakan kembali. Dengan rumus Lagrange yang biasa, pengerjaan soal dengan penambahan titik data akan membutuhkan perhitungan ulang seluruh soal.
Secara umum, rumus beda terbagi lebih serbaguna pada berbagai situasi permasalahan. Dengan interpolasi polinomial bentuk Newton, terdapat algoritma yang singkat dan efektif untuk mencari koefisien dari polinomialnya.[2]
Penerapan
Seperti yang bisa dilihat dari bentuk umum dari interpolasi polinomial Newton, titik data yang baru dapat ditambahakan ke himpunan data yang sudah ada untuk membuat interpolasi polinomial yang baru tanpa perlu menghitung ulang koefisien yang lama. Kalaupun terdapat titik data yang berubah nilainya, maka seluruh koefisien tidak perlu dihitung ulang. Selain itu, jika
memiliki jarak yang sama antara satu dengan yang lain, perhitungan beda terbagi akan jauh lebih mudah. Maka dari itu, rumus beda terbagi lebih disukai dibandingkan bentuk Lagrange untuk diterapkan.
Contoh
Nilai beda terbagi dapat dituliskan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, untuk mencari suatu fungsi
yang menginterpolasi titik
, maka dapat ditulis sebagai berikut
Maka koefisien dari interpolasi polinomialnya diperoleh dari entri teratas pada setiap kolom.
Sebagai contoh, misalkan dikonstruksikan interpolasi polinomial dari
dengan menggunakan metode beda terbagi pada titik berikut
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) | ![{\displaystyle x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe) | |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![{\displaystyle 0.1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd4ef2757b5bed78a9f074f2a9346ddacd135e4) | |
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) | ![{\displaystyle 0.3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09515e1cf102bb1fb68dae3e1631043c68833d4) | |
![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) | ![{\displaystyle 0.6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0001ac9c2a3bfc0abcfa25e7375e7bc62f5a15) | |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | |
Dengan menggunakan akurasi sebesar lima digit, maka diperoleh tabel beda terbagi sebagai berikut
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&0&&&&\\&&0.9983&&&\\0.1&0.09983&&-0.06617&&\\&&0.97845&&-0.16102&\\0.3&0.29552&&-0.16278&&0.01651\\&&0.89706&&-0.14451&\\0.6&0.56464&&-0.29284&&\\&&0.69208&&&\\1&0.84147&&&&\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1892c66c55e82581e9cb49a296e28c5dcc5db73)
Sehingga, interpolasi polinomialnya adalah
![{\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=0+0.9983(x-0)-0.06617(x-0)(x-0.1)-0.16102(x-0)(x-0.1)(x-0.3)+0.01651(x-0)(x-0.1)(x-0.3)(x-0.6)\\&=0.999789x+0.0026957x^{2}-0.17753x^{3}+0.01651x^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797f5930ec28dffaa08710913570b41591961a5e)
Lihat juga
- De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magna, karya dari Thomas Harriot yang menjelaskan metode interpolasi yang serupa, ditulis 50 tahun lebih awal dari karya Newton namun baru diterbitkan pada tahun 2009
- Deret Newton
- Algoritma Neville
- Interpolasi Polinomial
- Interpolasi polinomial Bentuk Lagrange
- Interpolasi polinomial Bentuk Bernstein
- Interpolasi Hermite
- Teorema Carlson
Referensi
- ^ Dunham, William (1990). "7". Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. Kanak Agrawal, Inc. hlm. 155–183. ISBN 9780140147391. Diakses tanggal 24 Oktober 2019.
- ^ Stetekluh, Jeff. "Algorithm for the Newton Form of the Interpolating Polynomial".
Pranala luar
- Modul tentang Polinomial Newton, karya John H. Mathews
Templat:Isaac Newton