Connettivo logico

Un connettivo logico o operatore logico (nel contesto dell'algebra di Boole, i connettivi logici sono detti anche operatori booleani), è un elemento grammaticale di collegamento che instaura fra due proposizioni A e B una qualche relazione che dia origine ad una terza proposizione C con un valore vero o falso, in base ai valori delle due proposizioni fattori ed al carattere del connettivo utilizzato.

Descrizione

I connettivi logici possono essere separati da parentesi tonde. Esistono regole di precedenza fra i connettivi logici (dimostrabili col semplice calcolo algebrico), analoghe a quelle esistenti fra le quattro operazioni elementari (secondo le quali la coppia di moltiplicazione e divisione, precedono somma e sottrazione): la negazione precede tutti gli altri connettivi, congiunzione e disgiunzione precedono sia l'implicazione che la doppia implicazione. Le regole di precedenza rendono in molti casi superfluo l'uso delle parentesi tonde, che possono tranquillamente essere omesse.

Operatore	Precedenza
${\displaystyle \neg }$	1
${\displaystyle \wedge }$	2
${\displaystyle \vee }$	3
${\displaystyle \rightarrow }$	4
${\displaystyle \leftrightarrow }$	5

Ognuna delle operazioni logiche suddette è efficacemente esplicata nella propria tabella della verità, la quale evidenzia i valori risultanti da tutte le possibili combinazioni esistenti fra le due proposizioni di partenza A e B, siano esse vere o false, utilizzando il connettivo dato. Le tavole di verità degli operatori logici sono state formalizzate per la prima volta nel Tractatus logico-philosophicus di Ludwig Wittgenstein.

Assunti di base della tavola di verità sono il principio di determinatezza e il principio di bivalenza, degli enunciati dichiarativi secondo il quale una proposizione può trovarsi in uno e un solo Stato di verità, e gli Stati di verità possibili che un enunciato può assumere sono soltanto due, "vero" oppure "falso". Entrambi i due principi citati non sono dimostrati né in via deduttiva (dal generale al particolare) né in via induttiva (dal caso particolare a quello generale), e nello stesso tempo non sono negati da nessuna delle logiche matematiche note; si applicano al singolo enunciato elementare atomico, non ulteriormente scomponibile, e non sono da confondere con principi equivalenti ma "binari", cioè che si applicano invece all'insieme di due o più enunciati legati da un connettivo logico: principio di non-contraddizione e principio del terzo escluso.

Non tutti gli enunciati sono di tipo dichiarativo ovvero atti ad assumere un valore di verità "vero" oppure "falso": già Aristotele affermava che la preghiera è un discorso né vero né falso, quindi irrilevante per la logica. Altro esempio di enunciati non dichiarativi sono quelli modali, caratterizzati dalle parole logiche: "può essere..", "deve necessariamente...", "credo che...", "so che..."; oppure il paradosso del mentitore: "il cretese Epimènide dice che tutti i cretesi sono bugiardi", "questa frase è falsa".

Tipologie

I principali connettivi logici binari sono:

• la congiunzione logica e, in latino et, in logica booleana AND, indicata con il simbolo ${\displaystyle \land }$
• la disgiunzione inclusiva o (talvolta indicato come e/o), in latino vel, in logica booleana OR, indicata con il simbolo ${\displaystyle \lor }$
• la disgiunzione esclusiva o o o... o..., in latino aut, in logica booleana XOR, indicata dal simbolo ${\displaystyle {\dot {\lor }}}$ oppure ${\displaystyle \not \equiv }$
• l'implicazione logica se ... allora ... indicata col simbolo ${\displaystyle \Rightarrow }$ oppure ${\displaystyle \supset }$
• la coimplicazione o doppia implicazione se e solo se indicata col simbolo ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ oppure ${\displaystyle \equiv }$

Spesso si annovera inoltre fra i connettivi logici la negazione logica "non", indicata con il simbolo ${\displaystyle \neg }$ la quale agisce però su un'unica proposizione, mentre gli altri connettivi logici si dicono appunto binari perché operano su almeno due proposizioni.

Bibliografia

• Lloyd Humberstone, The Connectives, Cambridge (MA), The MIT Press, 2011, ISBN 978-0-262-01654-4.

Voci correlate

• Algebra di Boole
• Congiunzione logica
• Mappa di Karnaugh
• Operazioni booleane sui poligoni
• Operazione bit a bit
• Porta logica

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «connettivo logico»

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Connettivo logico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Connettivo logico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Lloyd Humberstone, Sentence Connectives in Formal Logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
• (EN) John MacFarlane, Logical constants, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.

V · D · M Connettivi logici
Tautologia ( ${\displaystyle \top }$ )
Non-congiunzione ( ${\displaystyle \uparrow }$ ) · Implicazione inversa ( ${\displaystyle \leftarrow }$ ) · Implicazione ( ${\displaystyle \rightarrow }$ ) · Disgiunzione inclusiva ( ${\displaystyle \lor }$ )
Negazione ( ${\displaystyle \neg }$ ) · Disgiunzione esclusiva ( ${\displaystyle {\dot {\lor }}}$ ) · Doppia implicazione ( ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ) · Proposizione
Non-disgiunzione inclusiva ( ${\displaystyle \downarrow }$ ) · Non-implicazione ( ${\displaystyle \nrightarrow }$ ) · Non-implicazione inversa ( ${\displaystyle \nleftarrow }$ ) · Congiunzione ( ${\displaystyle \land }$ )
Contraddizione ( ${\displaystyle \bot }$ )

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