Forma di Nielsen

La Forma di Nielsen è una rappresentazione alternativa delle equazioni di Lagrange del I tipo, che vengono scritte come

∂ T ˙ ∂ q ˙ j − 2 ∂ T ∂ q j = Q j {\displaystyle {\partial {\dot {T}} \over \partial {{\dot {q}}_{j}}}-2{\partial {T} \over \partial q_{j}}=Q_{j}}

La dimostrazione dell'equivalenza si ottiene utilizzando la regola della catena. Infatti, detta δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} la delta di Kronecker, dalle equazioni di Lagrange del I tipo:

Q j = d d t ( ∂ T ∂ q ˙ j ) − ∂ T ∂ q j = {\displaystyle Q_{j}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left({\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}\right)-{\partial T \over \partial q_{j}}=}
= ∑ i [ ∂ ∂ q i ∂ T ∂ q ˙ j q ˙ i + ∂ ∂ q ˙ i ∂ T ∂ q ˙ j q ¨ i ] − ∂ T ∂ q j = {\displaystyle =\sum _{i}\left[{\partial \over \partial q_{i}}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\dot {q}}_{i}+{\partial \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\ddot {q}}_{i}\right]-{\partial {T} \over \partial q_{j}}=}
= ∑ i [ ∂ ∂ q ˙ j ( ∂ T ∂ q i ) q ˙ i + ∂ ∂ q ˙ j ( ∂ T ∂ q ˙ i ) q ¨ i ] + ∂ T ∂ q j − 2 ∂ T ∂ q j = {\displaystyle =\sum _{i}\left[{\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}\left({\partial T \over \partial q_{i}}\right){\dot {q}}_{i}+{\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}\left({\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right){\ddot {q}}_{i}\right]+{\partial T \over \partial q_{j}}-2{\partial {T} \over \partial q_{j}}=}
= ∑ i [ ∂ ∂ q ˙ j ( ∂ T ∂ q i ) q ˙ i + ∂ T ∂ q i δ i j + ∂ ∂ q ˙ j ( ∂ T ∂ q ˙ i ) q ¨ i + ∂ T ∂ q ˙ i ∂ q ¨ i ∂ q ˙ j ] − 2 ∂ T ∂ q j = {\displaystyle =\sum _{i}\left[{\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}\left({\partial T \over \partial q_{i}}\right){\dot {q}}_{i}+{\partial T \over \partial q_{i}}\delta _{ij}+{\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}\left({\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right){\ddot {q}}_{i}+{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\partial {\ddot {q}}_{i} \over \partial {\dot {q}}_{j}}\right]-2{\partial {T} \over \partial q_{j}}=}
= ∂ ∂ q ˙ j ∑ i [ ∂ T ∂ q i q ˙ i + ∂ T ∂ q ˙ i q ¨ i ] − 2 ∂ T ∂ q j = {\displaystyle ={\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}\sum _{i}\left[{\partial T \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\ddot {q}}_{i}\right]-2{\partial {T} \over \partial q_{j}}=}
= ∂ T ˙ ∂ q ˙ j − 2 ∂ T ∂ q j {\displaystyle ={\partial {\dot {T}} \over \partial {{\dot {q}}_{j}}}-2{\partial {T} \over \partial q_{j}}}

utilizzando le relazioni:

∂ q ¨ i ∂ q ˙ i = 0 {\displaystyle {\partial {\ddot {q}}_{i} \over \partial {\dot {q}}_{i}}=0}

∂ ∂ q ˙ j ∂ T ∂ q i = ∂ ∂ q i ∂ T ∂ q ˙ j {\displaystyle {\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\partial T \over \partial q_{i}}={\partial \over \partial q_{i}}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}}

∂ ∂ q ˙ j ∂ T ∂ q ˙ i = ∂ ∂ q ˙ i ∂ T ∂ q ˙ j {\displaystyle {\partial \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}={\partial \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}} .

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